Construction
Réponses
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Bonjour pappus,
$s\circ s$ est une homothétie de centre $\Omega$ donc il suffit de savoir construire $s(A')$ et $s(B')$.
Je m'en sors en considérant la similitude directe $\tau\circ s$, où $\tau$ est la symétrie d'axe la médiatrice de $AA'$.
Mais il y a peut-être plus simple... -
Bonjour à tous
J'ouvre cette discussion en songeant à cet autre fil Un rapport d'aires où je demande justement de construire un tel centre!
L'étude d'une géométrie est essentiellement l'étude de son groupe de transformations.
Par exemple pour la géométrie plane euclidienne, le groupe de transformations en question est le groupe des similitudes.
Avec la disparition des similitudes de nos programmes d'enseigement, c'est donc la géométrie euclidienne elle même qui a été touchée en plein cœur.
On ne peut dire qu'on fait vraiment de la géométrie euclidienne en se contentant d'ânonner ad nauseam les axiomes de Thalès et de Pythagore.
L'un des sommets du livre de Lebossé-Hémery est bien la construction du centre d'une similitude directe donnée par les images de deux points distincts.
Lebossé-Hémery ne donne pas la construction du centre d'une similitude indirecte.
Néanmoins il définit bien les similitudes indirectes qu'il appelle similitudes inverses, un adjectif assez malheureux pour ceux qui utilisent la théorie des groupes.
Pourtant, ils montrent l'existence d'une forme réduite pour une similitude indirecte.
Enfin dans une série d'exercices proposés à la fin de la dixième leçon sur les similitudes, ils s'intéressent à la construction du centre d'une similitude indirecte donnée par les images de deux points distincts.
Je m'intéresse donc à toutes les constructions de ce centre de similitude, connues ou inconnues dans notre monde sublunaire.
Plus nous en aurons de différentes et plus je serai satisfait.
En fait cette construction n'est qu'un prétexte pour faire de la géométrie euclidienne et nous serons amenés à regarder bien d'autres problèmes que ce petit, minuscule et ridicule problème de construction.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci Gai Requin
Nos messages se sont croisés!
Effectivement c'est une excellente remarque!
Quand tu dis que tu t'en sors, je te fais entièrement confiance mais tes lecteurs eux sont frustrés, ils attendent et une figure et un raisonnement détaillé!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Soit $\Delta$ la médiatrice de $AA'$, $\tau$ la symétrie d'axe $\Delta$ et $B''=\tau(B')$.
Alors $\tau\circ s$ est la similitude directe de centre $A$ qui envoie $B$ sur $B''$.
Soit alors $\alpha=\tau\circ s(A')$ et $\beta=\tau\circ s(B')$, de sorte que $s(A')=\tau(\alpha)$ et $s(B')=\tau(\beta)$.
Comme $s\circ s$ est une homothétie de centre $\Omega$, on a $\Omega=As(A')\cap Bs(B')$.
Remarque : Pour une question de lisibilité, j'ai effacé les constructions (classiques) à la règle et au compas de $\alpha$ et $\beta$. -
Mon cher Gai Requin
Merci infiniment du fond du cœur de t'intéresser aux élucubrations d'un vieux radoteur!
II y a deux aspects dans ce que tu viens de nous raconter.
L'aspect théorique concernant le groupe des similitudes, similitudes qu'on décompose ou qu'on recompose à son gré et l'aspect construction graphique et là j'ai quelques petits reproches à te faire, notamment en ne reliant pas par un segment pointillé les points qui sont symétriques par rapport à $\Delta$.
Mais le plus important est ta remarque finale: tu as effacé les constructions classiques de $\alpha$ et $\beta$!
N'oublie pas que pour tes lecteurs qui ne connaissent en tout et pour tout en géométrie que les axiomes de Thalès et de Pythagore, il n'y a absolument rien de classique!
Je reprends ton raisonnement avec ma propre figure.
Si $s$ est la similitude indirecte envoyant $(A,B)$ sur $(A',B')$, il s'agit dans un premier temps de donner une construction pertinente du point $M'=s(M)$
Tu notes $\Delta$ la médiatrice de $AA'$ et $\tau$ la symétrie axiale par rapport à $\Delta$.
Ensuite tu considères la transformation:
$$\tau'=\tau.s\qquad$$
C'est bien une similitude directe comme produit de deux similitudes indirectes.
Cela j'aurais pu le dire quand j'étais en Terminales!
Je ne savais pas ce qu'était un groupe mais je connaissais le produit de deux similitudes!
$\tau'(A)=\tau(s(A))=\tau(A')=A$
$\tau'(B)=\tau(s(B))=\tau(B')=B''$
Ainsi $\tau'$ est la similitude directe de centre $A$ envoyant $B$ sur $B''$.
Maintenant puisque $s=\tau.\tau'$, on a:
$M'=s(M)=\tau(\tau'(M))=\tau(M'')$ où $M''=\tau'(M)$
Donc pour construire $M'=s(M)$, on construit d'abord le point $M''=\tau'(M)$ puis le point $M'=\tau(M'')$.
Ainsi tout revient à construire l'image $M''$ du point $M$ par la similitude directe $\tau'$ de centre $A$ envoyant $B$ sur $B''$.
Tu parles d'une construction classique et bien moi je demande à voir (comme au poker) ta construction classique!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Voilà la construction classique de l'image $M''$ d'un point $M$ quelconque du plan par la similitude directe de centre $A$ qui envoie $B$ sur $B''$.
-
Merci Gai Requin
Bravo pour ta construction.
Je ne sais pas si c'est celle qu'attendait les compères Lebossé-Hémery mais voici en tout cas l'exercice n°252, page 161 sur ce problème de construction.
Je voudrais proposer une autre méthode basée sur le lemme suivant:
Soit $s$ une similitude (directe ou indirecte) transformant $A$ en $A'=s(A)$.
Soit $D$ une droite variable passant par $A$.
Quel est le lieu des intersections $D\cap s(D)$ quand $D$ varie?
On distinguera évidemment les deux cas direct et indirect.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous,
Il me semble qu'une typo s'est glissée ici : $S\cap s(D)$ où $S$ doit être remplacé par $D$.
GeoGebra me dit:
- Un cercle passant par $A$ et $A'$ dans le cas de la similitude directe.
- Une hyperbole équilatère de centre le milieu de $[AA']$ dans les cas de la similitude indirecte. (Ses asymptotes sont parallèles aux axes de la similitude). -
Merci Lake
J’ai corrigé mon typo!
Il faut dire que j’étais si fatigué après avoir écrit mon dernier message que j’ai ensuite dormi pendant plusieurs heures!
Ce que j’aime en toi, Lake , c’est ton utilisation des logiciels de géométrie dynamique pour t’aider à comprendre ce qui se passe!
Quand on y songe, leur simple existence aurait été une bénédiction si la géométrie n’avait pas disparu corps et biens!
Quand j’étais en Classe de Mathématiques, je n’aurais jamais imaginé qu’ils puissent un jour exister!
Mais j’avais mon Lebossé-Hémery, un peu ébréché sur les bords, qui suffisait amplement à mes cogitations!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonne Nuit et faites de beaux rêves
Traitons d'abord le cas des similitudes directes
Comme toujours, ce sont les invariants du groupe qu'elles forment qui font marcher la boutique.
En particulier, les similitudes directes conservent les angles orientés de droites. C'est bien pour cette raison qu'on s'était donné tant de mal à les définir!
Mais bof!
Si on se donne deux droites $D$ et $D'$ et une similitude directe $s$, on a:
$$(D,D')=(s(D),s(D')).\qquad$$
Ainsi $$(D,s(D))=(D',s(D')).\qquad$$
L'application $D\mapsto (D,s(D))$ est constante!
Quel est le lien entre cette constante et l'angle de la similitude $s$?
Je vous laisse le découvrir!
Si $s$ n'est pas une homothétie translation, ce que je supposerai maintenant, les intersections $M=D\cap s(D)$ existent.
Si de plus $D$ passe par un point fixe $A$, la droite $s(D)$ passe par le point fixe $A'=s(A)$ et $(MA,MA')=\mathrm{Cte}$ prouvant que le lieu de $M$ est un cercle $\Gamma_A$ passant par $A$ et $A'$.
De plus si $\Omega$ est le centre de similitude de $s$, les droites $\Omega A$ et $\Omega A'$ sont homologues, ce qui prouve que $\Omega$ appartient au lieu.
Maintenant si $(B,B')$ est un autre coupe de points homologues, les droites $AB$ et$A'B'$ sont homologues et d'après de qui précède, l'intersection $O=AB\cap A'B'\in \Gamma_A\cap \Gamma_B$ tout comme le centre $\Omega$ de la similitude $s$.
C'est la construction dite classique mais belle et bien défunte du centre d'une similitude directe donnée par les images $A'$ et $B'$ de deux points distincts $A$ et $B$.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Cher [small] p[/small]appus,
Je lis ce forum avec assiduité; souvent, je refais des figures sans intervenir; je n’en ai guère les moyens. Mais je suis régulièrement « émerveillé ». Ces figures sont, de mon point de vue, l’âme de la géométrie.
Parfois, comme ici, je soupçonne qu’un logiciel de géométrie dynamique (GeoGebra pour moi) peut répondre à la question posée. Les occasions sont rares... et tout reste à prouver.
Je pense très souvent aux élèves de Mathélem après guerre qui griffonnaient une figure à main levée et en tiraient la substantifique moelle; comment s’y prenaient-ils? -
Mon cher Lake
Rien que le fait que tu aies utilisé GeoGebra et que tu en aies tiré les bonnes conclusions prouve que tu es loin d'être nul en géométrie.
Oui, je me souviens de ce temps où nous devions tracer des figures munis d'un compas et d'une règle pour tout viatique!
Avant de pouvoir raisonner sur le problème demandé, nous devions d'abord construire un nombre toujours assommant de droites, de cercles, de médianes, de médiatrices, de bissectrices ou de hauteurs et même réfléchir sur des coniques dont nous ne pouvions tracer que quelques points!
Maintenant que le cas des similitudes directes est réglé et bien réglé, il reste celui des similitudes indirectes.
Le salut est toujours dans le Lebossé-Hémery mais pas dans la leçon sur les similitudes mais dans la leçon sur les hyperboles en général et sur les hyperboles équilatères en particulier.
Je pense en avoir déjà parlé! C'est la définition angulaire des hyperboles équilatères!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Mon cher Lake
On va se prendre par la main tous les deux et essayer d'élucider dans un premier temps cette histoire d'hyperbole équilatère.
On verra ensuite ce que cela entraîne pour la construction du centre d'une similitude indirecte.
Tout d'abord, je suis très très intéressé par la manière dont tu t'y es pris avec GeoGegra pour découvrir cette hyperbole équilatère.
Qu'as-tu fait exactement?
Donne moi le plus de détails possibles!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Cher [small]p[/small]appus,
J'ai tout d'abord créé deux points $B$ et $B'$ (qu'on ne voit pas sur la figure). Ils me servent de "paramètres" dans la mesure où les deux similitudes directe et indirecte sont déterminées par les couples de points $(A,A')$ et $(B,B')$.
Puis calculé le rapport commun des deux similitudes $k=\dfrac{A'B'}{AB}$.
Deux cercles d'Apollonius et leurs intersections me donnent immédiatement les centres $\Omega_+$ et $\Omega_-$.
Pour faire bonne mesure, j'ai aussi déterminé l'axe principal de la similitude indirecte (où elle se réduit à une homothétie de rapport $k>0$) en rouge sur la figure.
Création ensuite d'un cercle de centre $A$ et de rayon arbitraire et d'un point $C$ sur ce cercle.
Avec le rapport $k$ et l'axe, je détermine son image $C'$ par la similitude indirecte puis $M=(AC)\cap(A'C')$
Reste à activer la fonction lieu de $M$ lorsque $C$ décrit le cercle arbitraire de centre $A$.
Je ne m'attendais pas à tomber sur une hyperbole équilatère...
Je n'aurais plus le temps de me reconnecter avant ce soir...
Amicalement. -
Mon cher Lake
C'est très intéressant ce que tu as fait!
Tu as déterminé les deux similitudes directe et indirecte envoyant le couple $(A,B)$ sur le couple $(A',B')$
Il aurait alors été intéressant de comparer les situations relatives des centres $\Omega_+$ et $\Omega_-$ par rapport aux points $A$, $B$, $A'$, $B'$.
J'y reviendrai par la suite!
Oublions donc les similitudes directes dont le sort a été réglé et intéressons nous à celui des similitudes indirectes.
Soit $s$ une similitude indirecte de centre $\Omega$ envoyant $A$ sur $A'$.
Elle est entièrement déterminée par la connaissance de son centre et un couple de points homologues.
Avec ces données, Gai Requin a construit l'image $M'=s(M)$ d'un point $M$ quelconque du plan.
Quelles sont les droites invariantes de $s?\qquad$
$D$ étant une droite quelconque passant par $A$, comment construis-tu simplement la droite $D'=s(D)?\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour pappus et à tous,
Voici une autre construction. Je laisse le soin de montrer pourquoi elle "fonctionne".
La direction de l'axe est celle de la bissectrice de $(\vec{AB},\vec{A'B'}).$
On trace la droite $(D)$ passant par le point $A'$ et parallèle à cet axe.
On trace le point $B_1$ symétrique du point $B'$ par rapport à $(D)$.
Les droites $(AA')$ et $(BB_1)$ s'intersectent en un point $O.$
On trace le point $H$ pied de la perpendiculaire issue du point $O$ sur la droite $(D).$
On trace $I$ milieu du segment $[AA'].$
La parallèle à $(IH)$ passant par le point $A$ recoupe $(OH)$ au point cherché $\Omega.$
On achève la construction en menant la parallèle $(\Delta)$ à $(D)$ passant par $\Omega$.
Amicalement -
Encore une autre construction du centre de la similitude indirecte.
On trace le point $K $ intersection des deux droites $(AB')$ et $(A'B).$
On trace le point $I$ milieu de $[AA']$ et le point $J$ milieu de $[BB'].$
Le centre $\Omega$ cherché de la similitude indirecte appartient à la droite parallèle à $(IJ)$ passant par le point $K.$
On trace l'axe de la similitude $(\Delta)$ en traçant les points $P$ et $Q$ qui divisent les segments $[AA']$ et $[BB']$ dans le rapport $k=\dfrac{A'B'}{AB}$ (c'est le rapport de la similitude).
L'intersection entre la droite parallèle à $(IJ)$ passant par le point $K$ et l'axe de la similitude est le point $\Omega$ cherché centre de la similitude indirecte.
Amicalement -
Merci Bouzar pour ta très intéressante construction.
Mais est-ce vraiment une construction?
Suppose que je sois un de ces malheureux bacheliers des années cinquante évoqués par notre ami Lake, muni de sa règle ébréchée et de son compas rouillé!
Comment vais-je faire pour mesurer le réel $k$?
On doit sans doute y arriver mais par des tas de constructions auxiliaires qui font perdre de vue le principal!
Je dirais plutôt que c'est un procédé constructif qu'on pourrait confier à GeoGebra!
D'autre part si je considère les conjugués harmoniques respectifs $P'$ et $Q'$ des points $P$ et $Q$ par rapport aux paires $(A,A')$ et $(B,B')$, qu'est la droite $P'Q'$ pour la similitude indirecte?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je ne me suis pas fatigué la nénette. J'ai fait ta figure (à l'envers) en m'imposant $k=2$.
Tes points $P$ et $Q$ s'obtiennent alors en trisectant les segments $AA'$ et $BB'$.
En regardant ma figure, vois-tu ce que je veux te faire dire?
Ma figure pourrait faire un exo à la Jean-Louis.!
Propose un énoncé un peu intrigant! -
Mon cher Bouzar
Je n'avais pas vu ta première construction.
Bravo!
Mais il se fait tard et je suis fatigué.
Je la commenterai demain.
On dispose donc d'une construction de Gai Requin, de deux constructions de Bouzar et d'une future construction suivant la remarque de Lake sur l'hyperbole équilatère!
Bien sûr, il y en a bien d'autres, toutes plus ou moins liées puisqu'elles conduisent toutes à la construction du même point.
L'intérêt de chacune, c'est l'idée qu'il y a derrière. Par exemple pour celle de Gai Requin, c'est le fait que le carré d'une similitude indirecte est une homothétie-translation. (Merci Gai Requin!).
En ce qui concerne les deux méthodes de Bouzar, elles utilisent les mêmes points intermédiaires, ce qui entraîne que la seconde passe du statut de procédé constructif à celui de construction de plein droit!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Cette figure illustre ta seconde méthode où j'ai construit tes points $P$, $Q$, $P'$, $Q'$ en utilisant tes astuces de la première! -
Le carré d'une similitude indirecte est une homothétie-translation mon cher pappus. ;-)
-
Mon cher Gai Requin
Mon lapsus t'a au moins réveillé tout comme la divine mathématico-thérapie du docteur Letuber l'avait fait avec le savant Cosinus
Il n'était donc pas inutile.
Il est vrai que j'oublie une lettre sur trois et parfois un mot sur deux!
Mais je n'oublie pas ma géométrie
Fais de beaux rêves
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves
Juste avant d'aller faire un dodo bien mérité, voici une troisième construction à la Bouzar particulièrement esthétique à justifier et sur laquelle je reviendrai.
Sur ma figure avec ses codes couleurs habituels, $\alpha$ est le milieu du segment $AA'$, $\beta$ est le milieu du segment $BB'$, $\omega$ est le milieu du segment $O\Omega$.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Encore une construction, ou plutôt une course d'école.
L'idée de cette construction est que
$$
\kappa = |A'B'|/|AB| = |WA'|/|WA| = |WB'|/|WB|
$$
où $\kappa$ est le rapport de la similitude et $W$ le point fixe cherché.
Les deux derniers rapports montrent que $W$ est un des points d'intersection
de deux cercles d'Apollonius (l'autre est celui de la similitude directe).
En traitillé on a la construction de l'un de ces cercles.
(1) On construit l'un quelconque des points $P$ tels que $|PB'|/|PB|=\kappa$ .
(2) On reporte l'angle $PB\,Ob$ en $B'P\,Ob$ .
(3) Le cercle d'Apollonius cherché est centré en $Ob$ et passe par P . -
Merci Soland
Une cinquième construction donc basée sur les cercles d'Apollonius.
Je lui fais le même petit reproche qu'à la seconde construction de Bouzar.
Il faut d'une manière ou d'une autre évaluer (ou construire?) le réel $k=\dfrac{A'B'}{AB}$.
Quand on regarde les autres constructions de ce centre, on peut s'en servir justement pour construire les cercles d'Apollonius en question. C'est le monde à l'envers!!
Un autre petit problème un peu mesquin, je le reconnais.
Tes deux cercles d'Apollonius se coupent aux deux centres des similitudes directe et indirecte envoyant $(A,B)$ sur $(A',B')$.
Comment fais-tu pour reconnaître qui est qui?
De la géométrie contemplative?
Ce qui est intéressant dans cette histoire, c'est que toi et Lake, parlez tous les deux, de ces deux centres de similitudes directe et indirecte.
Il va donc falloir préciser leur situation relative dans cette figure!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Voilà comment rendre ton idée constructive.
On sait construire le centre $\Omega_+$ de la similitude directe $(A,B)\mapsto (A',B')$.
C'est la fameuse construction classique qu'on trouve dans le Lebossé-Hémery mais qui est défunte et bel et bien défunte depuis des décennies, du moins chez nous mais peut-être pas dans tes alpages.
Il n'y a plus qu'à construire le cercle du faisceau à points limites $(A,B)$, (resp. $(A',B')$), passant par $\Omega_+$ pour récupérer tes deux cercles d'Apollonius.
Leur second point d'intersection est $\Omega_-$. -
Bonjour à tous
Voici une énième construction à justifier du centre de la similitude indirecte envoyant $(A,B)$ sur $(A',B')$.
Elle aussi est particulièrement esthétique!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Maintenant il faut se concentrer sur l'hyperbole équilatère de Lake!! -
Bonjour à tous,
Je réponds ici à une question de [small]p[/small]appus (est-ce encore d'actualité ?):
Il s'agissait d'une similitude indirecte $s$ définie par son centre $\Omega$ et deux points homologues $A$ et $A'$.Quelles sont les droites invariantes de $s?\qquad$
$D$ étant une droite quelconque passant par $A$, comment construis-tu simplement la droite $D'=s(D)?\qquad$
Des bissectrices pour les deux droites invariantes, une droite symétrique de $D$ par rapport à une des deux droites invariantes. $s(D)$ est la parallèle à cette dernière passant par $A'$. -
Mon cher Lake
Tes réflexions sont toujours d'actualité.
Donc ta figure montre la construction parfaitement exacte de la droite $s(D)$ passant par $A'=s(A)$ où $D$ est une droite quelconque passant par $A$.
Comment en déduire le lieu de $M=D\cap s(D)$ quand $D$ varie?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Possèdes-tu le Lebossé-Hémery de la Classe de Mathématiques? -
Mon cher Lake
A défaut d’une preuve synthétique, tu peux te lancer dans la géométrie analytique.
Le tout est de choisir les bons axes!
C’est déjà la moitié de la solution!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Je cite le Lebossé-Hémery:514. Théorème fondamental: Pour qu'un point $M$ appartienne à une hyperbole équilatère de diamètre $AB$ il faut et il suffit que les cordes supplémentaires $MA$ et $MB$ soient également inclinées sur les asymptotes.
Dans le problème qui nous occupe, avec $O$ milieu de $[AA']$ et les deux axes orthogonaux passant par $O$ et parallèles aux droites invariantes, on a immédiatement par construction: $(OX,AM)=-(OX,A'M)$
D'où le lieu de $M$: une hyperbole équilatère. -
Merci Lake
Bien sûr, il suffit de citer le bon article du Lebossé-Hémery mais pour ta gouverne personnelle, peux-tu rédiger la preuve analytique qui tient en deux lignes.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Je l'avais fait; le repère choisi est d'origine $O$ milieu de $[AA']$ et les axes parallèles aux droites invariantes de $s$.
Avec $A'(x_0,y_0)$ et $A(-x_0,-y_0)$, on obtient des équations des droites $D$ et $D'$:
$D:\,y+y_0=a(x+x_0)$
$D':\,y-y_0=-a(x-x_0)$
On élimine $a$ pour obtenir une équation du lieu de $M$: $xy=x_0y_0$
Amicalement. -
Mon cher Lake
Tu vois que ce n’était pas aussi difficile que cela!
Maintenant on va se servir de ces hyperboles équilatères pour déterminer le centre de la similitude indirecte
$s: (A,B)\mapsto (A’,B’)$
On trace les hyperboles équilatères $H_A$ et $H_B$ relatives aux couples $(A,A’)$ et $(B,B’)$ et le centre cherché est l’intersection à distance finie autre que $O=AB\cap A’B’$ de ces deux hyperboles.
Essaye déjà de faire la figure même si on a l’impression que c’est mal parti avec l’intersection de ces deux coniques.
Mais cela va s’arranger, pourquoi?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Cher [small]p[/small]appus,
Je suis victime chez moi d'orages carabinés; je vais couper ma box.
D'ores et déjà, merci pour tout!
Je m'occupe avec la figure...
Amicalement. -
J'ai bien fait une figure, correcte, mais sans aucun intérêt: à l'aide du centre que l'on cherche. En tant que béotien, je me pose deux questions:
1) Une hyperbole équilatère est-elle bien définie par un point et son centre ? La réponse est certainement oui sinon tout tombe à l'eau. Je suis très lent mais je pense bien parvenir à une "construction" en particulier pour les directions asymptotiques.
2) L'intersection des deux hyperboles. Là, je ne suis pas sûr d'arriver au bout; une chose est probable: les directions asymptotiques communes et leurs intersections simplifient le problème.
Je prends le temps de réfléchir...
Amicalement.
[Édit] Déjà une erreur de raisonnement en 1) -
Mon cher Lake
Une hyperbole est déterminée par la donnée de ses asymptotes et d'un point
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Mon cher Lake
Pour avoir une idée de ce qui se passe, il faut savoir ce qu'est le groupe des transformations affines qui conservent une hyperbole.
Est-ce que tu comprends ce que je veux dire?
Autrefois quand on ne voulait pas prononcer ce mot un peu terrifiant de groupe, on se contentait de parler de la théorie des diamètres.
Dans le Lebossé-Hémery, on ne parle même pas de théorie, on se contente de les définir, diamètres d'une ellipse, diamètres d'une hyperbole, diamètres d'une parabole ainsi que leurs diamètres conjugués.
Ci-dessous la figure montrant les hyperboles $H_A$ et $H_B$ avec leurs intersections à distance finie $O$ et $\Omega$.
La droite $\alpha\beta$ joignant les deux centres est un diamètre commun à ces deux hyperboles.
Quels sont les diamètres conjugués du diamètre $\alpha\beta$ dans chaque hyperbole?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Lis attentivement ce que dit le Lebossé-Hémery sur les diamètres conjugués d'une hyperbole et en particulier de ceux d'une hyperbole équilatère. -
Bonsoir [small]p[/small]appus,
Je viens de terminer cette figure à l'aide du Lebossé-Hémery. Je n'avais pas vu la tienne.
Les bissectrices des droites $AB$, $A'B'$ pour les directions asymptotiques. Je suis passé par l'intermédiaire des foyers (construits) pour tracer les hyperboles.
Construire l'intersection autre que $I$ (ou $O$ pour toi), pour l'instant je ne vois pas.
[Edit] Je regarderai demain ce que dit le L-H sur les diamètres conjugués. -
Bravo Lake
Compare nos deux figures pour voir les différences.
Il y en a quatre!
Lesquelles?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Entrechat ludique.
On itère une similitude indirecte sur un point $A_0$ , obtenant $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ ...
Connaissant $A_0$ ,$A_1$ et $A_3$ , trouver $A_2$ . -
Bonjour [small]p[/small]appus,
Je crois tenir quelque chose mais je n'en suis qu'au stade des conjectures.
Des diamètres conjugués et une sécante parallèle passant par $I$. (ou $O$ pour toi).
Quant aux "différences" entre nos figures, je ne comprends pas...
Amicalement. -
Merci Soland pour ce petit exercice tout à fait en adéquation avec cette discussion!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Mon cher Lake
Il n’y a pire aveugle que celui qui ne veut pas voir!
Tu n’as jamais joué au jeu des sept erreurs?
Oublie les étiquettes qui sont sans importance ainsi que les pointillés et concentre toi sur les objets: points, droites, coniques.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Mon cher Lake
En regardant ta figure, je vois que tu as trouvé!
Reste à fournir l'explication!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Mon cher Lake
Les points $F_A$, $F'_A$, $F_B$, $F'_B$ de ta figure ne sont pas sur la mienne!
A quoi t'ont-ils servi exactement?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Une justification:
Théorème: les milieux des cordes parallèles à un diamètre de l'hyperbole appartiennent au diamètre conjugué.
Soit $D_A$ le diamètre conjugué du diamètre $O_AO_B$ pour $H_A$ et $D_B$ le diamètre conjugué pour $H_B$.
Les asymptotes des deux hyperboles étant parallèles, $D_A//D_B$
La parallèle menée par $I\in H_A$ à $D_A$ et $D_B$ coupe $O_AO_B$ en $J$ et le symétrique de $I$ par rapport à $J$ appartient à $H_A.$ d'après le théorème cité.
$I$ appartenant à $H_B$, ce même symétrique appartient à $H_B$. C'est le deuxième point d'intersection des deux hyperboles: $\Omega$ -
Les points $F_A$, $F'_A$, $F_B$, $F'_B$ de ta figure ne sont pas sur la mienne! A quoi t'ont-ils servi exactement?
A tracer les hyperboles avec les foyers et un point (pour obtenir des "vraies" coniques et non pas des lieux). Je m'y suis mal pris ?
Amicalement. -
Merci Lake
Je me doutais bien que c'étaient des foyers, vu leurs notations!
Tu as une hyperbole (équilatère) dont tu connais les asymptotes et un point.
Comment as-tu fait pour la tracer avec GeoGebra?
Et d'une façon plus générale, comment as-tu tracé ta figure et ne m'épargne aucun détail!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Rien de bien extraordinaire:
Je voulais tracer les hyperboles "honnêtement" (bien qu'elles ne soient pas indispensables pour la construction finale proprement dite).
GeoGebra dispose de deux fonctions:
- Conique passant par cinq points. Je disposais pour $H_A$ des points $A$ et $A'$, de $I$ et de son symétrique par rapport au centre $O_1$ mais m'interdisais d'utiliser $\Omega$. C'était cuit.
- Hyperbole de foyers donnés et un point. Je me suis certainement compliqué la vie en n'utilisant pas le fait que ces hyperboles étaient équilatères. Bref, j'ai construit leurs foyers toujours avec le L-H sous les yeux:
Le cercle de centre $A$ passant par $O_1$ recoupe les asymptotes en $P$ et $Q$. La droite $(PQ)$ est la tangente à $H_A$ en $A$. Le cercle passant par $P$ et $Q$ centré sur la bissectrice extérieure de $PO_1Q$ recoupe la bissectrice intérieure en $F_A$ et $F'_A$ (les foyers cherchés). GeoGebra fait le reste avec la commande mentionnée plus haut.
Pour le diamètre conjugué de $O_1O_2$ (hyperbole $H_A$), j'ai créé une sécante quelconque parallèle à $O_1O_2$ qui détermine un segment sur les asymptotes de $H_A$. On obtient le diamètre conjugué avec la droite qui joint le centre $O_1$ au milieu de ce segment.
J'espère avoir répondu à tes interrogations...
Amicalement. -
Je viens de rendre compte que j’aurais pu utiliser les symétriques de $A$, $I$ par rapport à une bissectrice des asymptotes et la commande conique par cinq points.
-
Merci Lake pour tes explications qui me montrent que tu as encore des progrès à faire dans la compréhension de la théorie des coniques.
Cette théorie se lit à plusieurs niveaux: projectif, affine, euclidien.
Pour chaque niveau, tu disposes d'une définition adéquate d'une conique.
Le niveau projectif est cuit et bien cuit depuis des décennies. N'en parlons presque plus!
Le niveau affine ne vaut pas mieux mais il est encore dans nos programmes.
C'est pourquoi on a tendance à se raccrocher au niveau euclidien où on se sent plus en sécurité.
On n'imagine pas une conique sans foyer et directrice.
Cela me rappelle une anecdote datant de plus de quarante ans.
J'interrogeai un candidat, déjà fort brillant en algèbre et en analyse et à tout hasard, je lui demandai une définition des coniques et il me répondit: c'est le lieu des points dont la somme des distances au foyer et à la directrice est constante.
Un peu surpris par cette définition bizarre, je lui demandai de tracer les courbes en question, tâche dont il s'acquitta fort bien, même s'il fut un peu surpris du résultat obtenu.
Au total, je lui mis une bonne note car je ne pouvais lui tenir rigueur de son ignorance en géométrie!
On l'a dit: une hyperbole est entièrement déterminée par ses asymptotes et un point.
Petite colle: à quel niveau ce résultat se trouve: projectif, affine ou euclidien?
Et comment en profiter pour tracer la conique?
Amicalement
[small]p[/small]appus
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