Pour débutant
dans Géométrie
Bonjour
1. ABC un triangle,
2. H l'orthocentre de ABC,
3. Hc le symétrique de H par rapport à C
4. Z le milieu de [AB],
5. Cz le symétrique de C par rapport à Z
6. O le centre du cercle circonscrit à ABC.
Question : O est le milieu de [CzHc].
Sincèrement
Jean-Louis
1. ABC un triangle,
2. H l'orthocentre de ABC,
3. Hc le symétrique de H par rapport à C
4. Z le milieu de [AB],
5. Cz le symétrique de C par rapport à Z
6. O le centre du cercle circonscrit à ABC.
Question : O est le milieu de [CzHc].
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
On rajoute $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $O$.
Par Thalès $(BC)//(AC_z)$ et $BC=AC_z$.
De plus $A'BHC$ est un parallèlogramme (évident en observant qu'on a des perpendiculaires) donc $A'B=CH=CH_c$ d'où $A'BCH_c$ parallélogramme donc $BC=A'H_c$.
Ainsi $(AC_z)//(A'H_c)$ et $AC_z=A'H_c$ donc comme $O$ est le milieu de $[AA']$ alors par Thalès c'est le milieu de $[C_zH_c]$.
Cordialement,
Quentin H.
merci pour cette preuve...
Avez-vous pensé au fait que (OZ et (CHc) sont parallèles et que 2.OZ = CHc...
Sincèrement
Jean-Louis
Il est vrai qu'il suffit de se souvenir de ce que les points symétriques de H par rapport à Z et de C par rapport à O sont confondus sur le cercle circonscrit à ABC, c'est bien cela ?
Bien cordialement
JLB
Sincèrement
Jean-Louis
Et bien entendu, les deux triplets de points homologues appartiennent à une même ellipse centrée en O ... Pourquoi ?
Question annexe : comment appelle-t-on cette ellipse ?
Bonne nuit, bien cordialement
JLB
A(a), B(b), C(c), H(a+b+c).
On trouve facilement Hc(c-a-b) et Cz(a+b-c), et la somme des affixes est nulle.