Pour intermédiaire

Merci Jean-Louis
II ne manque plus que la question!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour ,

en démontrant que le triangle bleu est isocèle .
Cordialement

Bonjour,
Une petite chasse angulaire le montre :
Soit $X$ le point d'intersection de $P_u$ et $(AO)$, soit $H$ l'orthocentre, alors comme $O$ et $H$ sont isogonaux $(AO,AU)=(AU,AH)$ et par angles alternes-internes $(AU,AH)=(UA,UX)$ Donc $(AX,AU)=(UA,UX)$ donc $AUX$ est isocèle en $X$ alors $X$ est sur $M_a$ ce qui conclut.
Bien cordialement,
Quentin H.

PS : je ne joins pas de nouvelle figure, je n'ai pas rajouté beaucoup de points par rapport à la figure de Jean-Louis.

Bonjour, le point $X$ est défini comme dans mon précédent message,
Pour une preuve sans angles : soit $S$ la deuxième intersection de $(AU)$ avec le cercle $(ABC)$, alors par le théorème du pôle Sud $(OS) \perp (BC)$ donc $(UX)//(BC)$ d'où par Thalès $\dfrac{UX}{OS}=\dfrac{AX}{AO}$ or $AO=OS$ donc $AX=UX$ et on conclut de même.