Des rectangles, triangles et un cercle

Bonjour a tous,

Je cherche le rectangle rouge EFGH inscrit dans le vert AJKI. Je me concentre sur un quart seulement de la construction, qui me semble suffisant: le rectangle ABCD.
Nous connaissons h et w, hauteur AD et largeur AB de ce rectangle.
Du rectangle inscrit nous ne connaissons que d, le petit coté EF.
Pour la suite je pose x = AE, y = AF et encore beta l’angle AFE (aussi égal a alfa, BEH). Trouver l’une de ces trois grandeur suffira.

Je n’ai su approcher ce problème simplement encore. J’ai donc commencé une démarche analytique qui débute ainsi :
CF² = w² + (h-y)² (1)
CE² = h² + (w-x)² (2)
d² = x² + y² (3)
CE = CF et CE² = CF² donc :
w² + (h-y)² = h² + (w-x)²
w² + h² - 2hy + y² = h² + w² – 2wx + x²
y² – 2hy = x² – 2wx (4)
(3) => x = SQRT (d² - y²) (x >= 0)
et x² = d² - y²
Cela dans (4) devient :
y² – 2hy = d² - y² – 2w * SQRT (d² - y²)
soit : 2y² - 2hy -d² = -2w sqrt (d² - y²)
J’élève au carré pour faire disparaître la racine…
(y² – hy - d²/2)² = w² (d² - y²)
Soit une équation du 4eme degré en y a résoudre. Je sais qu’il existe au moins une solution réelle par simple construction géométrique, donc le calcul devrait aboutir.
Je l’ai tenté avec les méthodes de Ferrari puis Cardan, mais pour le moment ne suis pas encore parvenu a trouver une solution correcte (j’ai du faire des erreurs de calculs, je vais revoir tout cela minutieusement encore).
Est ce selon vous une approche correcte ? Ou en voyez vous une plus simple (eg trigonométrique) ?
J’avoue avoir bien du mal avec ces longs calculs, mais il me faut un résultat formel générique.
Merci pour vos idées et corrections..

ALeX