De toute façon, il manque des informations pour résoudre cet exercice.
On nous donne seulement des distances : il est impossible de déterminer une direction. En effet, en faisant simplement une isométrie quelconque de l'espace, on pourra modifier la direction du vecteur demandé, mais conserver toutes les distances.
Apparemment, d'après la figure, A et B sont contraints sur l'axe des abscisses, mais ce n'est dit nulle part... mais ça ne suffit toujours pas car on peut encore faire des symétries et des rotations.
Sans perte de generalite on suppose $a=1$ et le volume du tetaedre est donne par
$$V^2=\frac{1}{288}\det\left[\begin{array}{ccccc}0&c^2&m^2&n^2&1\\c^2&0&1&1&1\\m^2&1&0&1&1\\ n^2&1&1&0&1\\1&1&1&1&0 \end{array}\right]$$ que je te laisse le plaisir de calculer par la formule de Schur par exemple. Comme l'aire du triangle equilateral de base est $A=\sqrt{3}/4$ la hauteur $h$ du tetraedre est $3V/A.$ Pour les deux autres coordonnees, celles du pied $H$ de la hauteur dans le plan de base, on les calcule a partir des carres de leurs distances aux sommets du triangle de base , c'est a dire $c^2-h^2, m^2-h^2, n^2-h^2.$
Pourriez-vous m’expliquer ou me donner un lien pour la formule (1/288 det ...) ?
Le fait de connaître la hauteur ne nous permet pas de trouver les coordonnées de H car les coordonnées de B et E ne sont pas connues sauf leurs abscisses peut-être :
(Xe-c)^2+Ye^2+Ze^2=m^2
(Xd-c)^2+Yd^2+Zd^2=n^2
Xe^2+Ye^2+Ze^2=a^2
Xd^2+Yd^2+Zd^2=a^2
Donc Xe=(a^2+c^2-m^2)/2c
Xd=(a^2+c^2-n^2)/2c
Mais le pb c'est de trouver Ye, Ze et Yd, Zd
Tou à fait, la seule distance fixe c’est AB =(Bx), les autres arrêtes son variables ce qui rend le plan de la base BDE variable aussi, mais quoique le repère que vous choisissez on peut exprimer le vecteur demandé en fonction de dimensions am n et c
Louklouk ; Tu n'as pas compris ce que j'ai dit.
Tu persistes à dire qu'il y a des contraintes sur les distances... mais cela ne suffit pas à donner la direction.
Par ailleurs, l'égalité AB = (Bx) n'a aucune signification : d'un côté on a un nombre et de l'autre une droite.
Ta figure est sacrement petite et il etait difficile de lire le nom des sommets. Si bien que j'avais cru que le triangle equilateral etait dans le plan Oxy. ..
Est il correct de penser que ABD sont tous trois dans le plan Oxy? Tu demandes donc l'equation du plan BDE en fonction des parametres (ou un vecteur normal, c'est le meme probleme), on est bien d'accord?
Non plus, le triangle (BDE) peut tourner librement autour du point B et non pas autour d’un axe (ie) toutes les directions sont permises, cependant je reste curieux à savoir d’ou vient la formule du volume que tu as mentionnée ci-dessus
Tu veux dire que $D$ ne reste pas dans le plan Oxy? S'il en est ainsi, j'abandonne, le probleme ne tient pas debout.
Si $D$ est dans le plan $Oxy$ alors l'aire $S$ du triangle ADB de cotes $1,c,n$ se calcule par la formule de Heron
$$S^2=p(p-1)(p-c)(p-n),\ 2p=1+c+n$$ et donc la composante sur $Oz$ de $E$ est $3V/S$.
La formule de Tartaglia qui donne le volume d'un tetraedre connaissant ses 6 cotes est sur Wikipedia.
Réponses
Personne ne m’a répondu!!!
Ou êtes vous les génies de math?
Comme d'habitude, après avoir lu la charte, tu nous diras ce que tu as fait pour le moment et ce qui te bloque, ce sont les us et coutumes de ce lieu.
Cordialement,
Rescassol
On nous donne seulement des distances : il est impossible de déterminer une direction. En effet, en faisant simplement une isométrie quelconque de l'espace, on pourra modifier la direction du vecteur demandé, mais conserver toutes les distances.
Apparemment, d'après la figure, A et B sont contraints sur l'axe des abscisses, mais ce n'est dit nulle part... mais ça ne suffit toujours pas car on peut encore faire des symétries et des rotations.
Peut-être y a-t-il encore une autre contrainte...
$$V^2=\frac{1}{288}\det\left[\begin{array}{ccccc}0&c^2&m^2&n^2&1\\c^2&0&1&1&1\\m^2&1&0&1&1\\ n^2&1&1&0&1\\1&1&1&1&0 \end{array}\right]$$ que je te laisse le plaisir de calculer par la formule de Schur par exemple. Comme l'aire du triangle equilateral de base est $A=\sqrt{3}/4$ la hauteur $h$ du tetraedre est $3V/A.$ Pour les deux autres coordonnees, celles du pied $H$ de la hauteur dans le plan de base, on les calcule a partir des carres de leurs distances aux sommets du triangle de base , c'est a dire $c^2-h^2, m^2-h^2, n^2-h^2.$
Pourriez-vous m’expliquer ou me donner un lien pour la formule (1/288 det ...) ?
Le fait de connaître la hauteur ne nous permet pas de trouver les coordonnées de H car les coordonnées de B et E ne sont pas connues sauf leurs abscisses peut-être :
(Xe-c)^2+Ye^2+Ze^2=m^2
(Xd-c)^2+Yd^2+Zd^2=n^2
Xe^2+Ye^2+Ze^2=a^2
Xd^2+Yd^2+Zd^2=a^2
Donc Xe=(a^2+c^2-m^2)/2c
Xd=(a^2+c^2-n^2)/2c
Mais le pb c'est de trouver Ye, Ze et Yd, Zd
[Merci d'écrire les mots en entier. AD]
Tou à fait, la seule distance fixe c’est AB =(Bx), les autres arrêtes son variables ce qui rend le plan de la base BDE variable aussi, mais quoique le repère que vous choisissez on peut exprimer le vecteur demandé en fonction de dimensions am n et c
Amicalement
Tu persistes à dire qu'il y a des contraintes sur les distances... mais cela ne suffit pas à donner la direction.
Par ailleurs, l'égalité AB = (Bx) n'a aucune signification : d'un côté on a un nombre et de l'autre une droite.
Est il correct de penser que ABD sont tous trois dans le plan Oxy? Tu demandes donc l'equation du plan BDE en fonction des parametres (ou un vecteur normal, c'est le meme probleme), on est bien d'accord?
Si $D$ est dans le plan $Oxy$ alors l'aire $S$ du triangle ADB de cotes $1,c,n$ se calcule par la formule de Heron
$$S^2=p(p-1)(p-c)(p-n),\ 2p=1+c+n$$ et donc la composante sur $Oz$ de $E$ est $3V/S$.
La formule de Tartaglia qui donne le volume d'un tetraedre connaissant ses 6 cotes est sur Wikipedia.