Milieu du côté d'un carré, à la règle

Georges Abitbol · July 2020

Bonsoir à toutes et à tous,

on m'a posé un petit problème amusant que vous connaissez probablement déjà ; je vous le propose en espérant que ça amuse celles et ceux qui ne le connaissent pas encore.

Il s'agit de construire, à la règle seule (non graduée) le milieu d'un côté d'un carré.

J'ai une solution en une vingtaine d'étapes, je ne sais pas s'il est possible de faire mieux ! J'ai fait une animation à l'aide de GeoGebra que je posterai plus tard, pour ne pas gâcher le plaisir.

Bonne soirée !

Ludwig · July 2020

Bonsoir,

Avec un point extérieur au carré 5 étapes suffisent. Mais je ne sais pas si c'est autorisé ?

Georges Abitbol · July 2020

Un point extérieur c'est autorisé, oui, sinon on ne peut rien tracer de plus que les droites prolongeant les côtés et les diagonales. Dans ma construction, j'ai deux points extérieurs mais en fait j'aurais pu m'en sortir avec un seul, je crois !

Neogramme · July 2020

Soit ABCD un carré,
E un point quelconque entre BC.
F intersection de AE et CD.
G intersection de BF et AC.
H intersection de GE et AB et par la même occasion milieu de AB.

pappus · July 2020

Bonsoir à tous
Belle construction de Neogramme basée sur une propriété du trapèze.
Mais comme c’est une configuration affine, on peut remplacer sans dommage le carré par un parallélogramme!
Amicalement
[small]p[/small]appus

pappus · July 2020

Bonne Nuit et faites de beaux rêves
La configuration est affine.
On peut remplacer le carré par un parallélogramme sans dommage.
Voici une très légère variante:
On choisit $E$ sur la droite $CD$.
$F=AD\cap BE$
$G=AE\cap BD$.
$H=AB\cap FG$ est le milieu de $AB$.
Amicalement
[small]p[/small]appus 105528

soland · July 2020

Autre construction :
(1) Milieu M de AB
(2) Droite DM
(3) CB coupe DM en N
(4) Milieu P de AD
(5) NP coupe AB en G tel que 2GA = GB 105540

Ludwig · July 2020

Bonjour,
Ces constructions du milieu d'une segment utilisent toutes une droite auxiliaire, parallèle à ce segment. Mais peut-on construire le milieu d'un segment, uniquement avec la règle non-graduée, sans utiliser - et sans construire - une telle droite parallèle ? Simplement avec des droites tracées à la volée et en relevant des points d'intersection.

pappus · July 2020

Mon cher Ludwig
Dire que tu n'utilises pas de droites parallèles, cela revient à dire qu'elles n'existent pas.
Donc tu fais de la géométrie projective et là tu peux toujours t'accrocher pour construire des milieux qui n'existent pas dans cette géométrie!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Ludwig · July 2020

Même pas avec une infinité de droites ?

pappus · July 2020

Mon cher Ludwig
Je ne comprends pas ta remarque.
Une construction se fait en un nombre fini d'étapes.
Quant à mon argument, j'aimerais bien qu'on en discute!
Amicalement
[small]p[/small]appus

chephip · July 2020

Bonjour,

il n'est pas beaucoup plus compliqué de construire le milieu d'un segment [EF] donné n'importe où, toujours étant donné le carré (ou le parallélogramme) ABCD

voire (mais là c'est nettement plus long) construire un carré EFGH à partir du segment [EF] donné n'importe où,
mais là ABCD donné doit être un carré pour ça

Amicalement

PS : je n'ai pas compris ce que cherche à faire soland vu que le but est de construire un milieu, alors qu'il commence sa construction à partir du milieu demandé ? 105616

soland · July 2020

Ben diviser le côté par trois.

chephip · July 2020

Ah d'accord !!

moi je fais comme ça, sans escamoter ce qu'il faut ajouter de traits de construction pour construire tes deux milieux.
données = [AB] et une parallèle (un parallélogramme ou carré ABCD)
S est un point arbitraire
Amicalement
: 105630

Domi · July 2020

Bonjour à tous

Ces exercices me rappellent un vieux problème de construction à la règle , on pouvait s'en sortir aisément par une pirouette à l'aide d'une bête règle à deux bords parallèles .

Domi

Ludwig · July 2020

Bonjour,

@pappus : j'avoue avoir du mal à comprendre ton argument. En quoi ne pas utiliser de droites parallèles revient à dire qu'elles n'existent pas ?

En étant plus terre à terre : supposons que la construction du milieu d'un segment soit possible sans parallèle (et sans cercle), à quelle contradiction cela aboutit-il ? Je préférerais préciser les choses ainsi plutôt que de parler de géométrie projective, j'y verrais plus clair.

De plus, si une construction sans parallèle n'est pas possible en un nombre fini d'étapes, peut-être qu'elle le serait avec un nombre infini d'étapes. Pourquoi pas ? On peut imaginer un processus convergent.

pappus · July 2020

Bonjour Ludwig
Voici mon argument qui vaut ce qu'il vaut mais qui mérite au moins d'être discuté!.
Il est bien connu qu'en géométrie projective où deux droites sont toujours concourantes, on sait construire très simplement à la règle seulement le conjugué harmonique d'un point $C$ par rapport à deux points $A$ et $B$, sachant que $C$ appartient à la droite $AB$.
C'est une construction que j'ai apprise quand j'étais en classe de Seconde, nostalgie.
Maintenant que se passe-t-il dans le plan affine qui n'est pas autre chose que le plan projectif auquel on a enlevé une droite dite de l'infini?
Quand $C$ est le milieu de $AB$, son conjugué harmonique est situé sur la droite de l'infini et un point à l'infini est défini comme intersection de deux droites parallèles.
Donc si tu te prives d'utiliser des droites parallèles, tu te prives des points à l'infini et donc de leurs conjugués harmoniques qui sont des milieux.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Ludwig · July 2020

Oui je vois. Sauf que, dans le plan affine, le conjugué harmonique du milieu $C$ de $AB$ n'existe tout simplement pas, puisque deux droites parallèles ne s'y rencontrent pas. Donc quand vous dites que ce conjugué est situé sur la droite de l'infini, vous vous placez dans le plan projectif.
Il me semble que le passage affine-projectif permet de valider une construction, pas d'en prouver l'impossibilité. Mais je raconte peut-être des bêtises.

Je rappelle au passage une construction du conjugué harmonique du point $C$ par rapport à $A$ et $B$, cela m'aidera à fixer les choses. On prend un point M non situé sur la droite $(AB)$, la parallèle à $(MA)$ passant par $B$ coupe $(MC)$ en $E$. Le point $E'$ est le symétrique de $E$ par rapport à $B$. Les droites $(ME')$ et $(AB)$ se coupent au point $D$, qui est le conjugué recherché. 105666

chephip · July 2020

Bonjour,
cette construction, nécessite parallèles et milieux (ou symétriques, ce qui revient exactement au même)

à la règle seule on peut faire comme ça :
données A, B et M
par un point arbitraire S du plan on trace (SA),(SB), (SM)
par un point arbitraire T de (SA) on trace (TB), qui coupe (SM) en I
(AI) coupe (SB) en C
(TC) coupe (AB) en N cherché, conjugué harmonique de M par rapport à A, B.

cordialement. 105742