L’éternel point de Lemoine

% Yannguyen - 11/07/2020 - L’éternel point de Lemoine

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syms a b c real  % Les longueurs des côtés

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC
CA=[0, 1, 0];
AB=[0, 0, 1];

%-----------------------------------------------------------------------

X6=[a^2; b^2; c^2]; % Point de Lemoine

A1 = ProjectionOrthogonaleBary(X6,BC,a,b,c); % Projections orthogonales 
B1 = ProjectionOrthogonaleBary(X6,CA,a,b,c); % de X6 sur les côtés du
C1 = ProjectionOrthogonaleBary(X6,AB,a,b,c); % triangle ABC

A1=FactorT(A1)

G6=Barycentre([A1,B1,C1],[1,1,1]);

G6=FactorT(G6)

A1 =
 
                        0
 -a^2*(a^2 + 3*b^2 - c^2)
 -a^2*(a^2 - b^2 + 3*c^2)
 
 
G6 =
 
 a^2/(a^2 + b^2 + c^2)
 b^2/(a^2 + b^2 + c^2)
 c^2/(a^2 + b^2 + c^2)

syms u v w
P=[u; v; w]; % Un point quelconque
S=u+v+w;

A2 = ProjectionOrthogonaleBary(P,BC,a,b,c); % Projections orthogonales 
B2 = ProjectionOrthogonaleBary(P,CA,a,b,c); % de P sur les côtés du
C2 = ProjectionOrthogonaleBary(P,AB,a,b,c); % triangle ABC

A2=FactorT(A2)

GG6=Barycentre([A2,B2,C2],[1,1,1]);

Nul=FactorT(GG6/sum(GG6)-P/S)

% Ce qui donne Equ=Eqv=Eqw=0 avec:

Equ = (-2*b^2*c^2)*u + (a^2*c^2 + b^2*c^2 - c^4)*v + (a^2*b^2 - b^4 + b^2*c^2)*w;
Eqv = (a^2*c^2 + b^2*c^2 - c^4)*u + (-2*a^2*c^2)*v + (- a^4 + a^2*b^2 + a^2*c^2)*w;
Eqw = (a^2*b^2 - b^4 + b^2*c^2)*u + (- a^4 + a^2*b^2 + a^2*c^2)*v + (-2*a^2*b^2)*w;
 
% On élimine w entre Equ=0 et Eqv=0:

Ruv=Resultant(coeffs(Equ,w,'All'),coeffs(Eqv,w,'All'));
Ruv=coeffs(Ruv,[u v]);
Cuv=Factor(Ruv(1)/Ruv(2))

% On trouve Cuv=-a^2/b^2 (et permutation circulaire) d'où le résultat.