Échelle logarithmique
Bonjour :-)
J'ai une droite, qui sert d'échelle logarithmique. Sur cette droite, il y a des segments adjacents, de tailles égales, dont les extrémités représentent 1, 10, 100, 1000, 10000. A côté de cela, j'ai un segment A de taille a et un segment B de taille b.
Quelle méthode géométrique (pas calculatoire) dois-je utiliser pour placer, sur mon échelle logarithmique,
J'ai une droite, qui sert d'échelle logarithmique. Sur cette droite, il y a des segments adjacents, de tailles égales, dont les extrémités représentent 1, 10, 100, 1000, 10000. A côté de cela, j'ai un segment A de taille a et un segment B de taille b.
Quelle méthode géométrique (pas calculatoire) dois-je utiliser pour placer, sur mon échelle logarithmique,
- Le point 7, si b = 7.a
- Le point r, si b = r.a
Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages
passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique
du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on
cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on
n'a pas besoin de recopier le message passé.
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Réponses
La question n'a pas de sens ! Tu viens de dire que des segments de même longueur ont des mesures différentes (10-1 = 9; 100-10 = 90), et en plus, tes segments ne sont même pas sur l'axe.
Mais peut-être l'énoncé que tu as interprété ici a-t-il bien un sens. Pour cela, il faudrait l'avoir exactement (scan ? photo ?).
Cordialement.
Évidemment, c'est faux. Je n'ai pas dit que les mesures étaient différentes des longueurs. J'ai dit que les extrémités des segments représentaient des valeurs utiles. C'est tout le principe de l'échelle logarithmique. Renseigne-toi et tu verras qu'il est complètement normal que la distance entre 1 et 10 soit la même qu'entre 10 et 100. Et ce sera encore la même entre 7.32 et 73.2. Si tu imagines que la géométrie est le règne de la proportionnalité, tu vas découvrir tout un champ de nouveautés. ;-)
tu devrais lire vraiment ce qu'on te répond.
Et je connais les échelles logarithmiques depuis plus de 50 ans, je les ai enseignées pendant des années, inutile de me faire la leçon !
En général, quand on arrive sur un forum, on évite de prendre les répondeurs pour des zigotos, on regarde ...
Quand tu donneras un énoncé sensé, une copie de cet énoncé, on pourra peut-être avancer.
Cordialement.
en cherchant un peu, j'ai réussi à trouver une interprétation possible à cet énoncé que tu as seulement commenté. Mais il suppose un contexte que je rétablis.
Sur une échelle logarithmique, des intervalles égaux en vraie longueur définissent des intervalles de mesures-échelle différentes. Cela parce que l'échelle est construite sur une origine, marquée 1 et une unité, qui définit une échelle en vraie longueur régulière (repérage cartésien d'un axe). Sur cette échelle en vraie longueur on place le nombre positif x à l'abscisse cartésienne log(x) (logarithme décimal). Donc 10 à 1 après le 1, 100 à 2 après le 1, 0.001 à l'abscisse -3 (3 avant le 1).
Si j'ai placé x et y>x, la vraie longueur de l'intervalle sur l'échelle entre x et y est log(y)-log(x) = log(y/x). Mais alors, la vraie longueur de l'intervalle sur l'échelle entre kx et ky est log((ky)/(kx)) = log(y/x). Et si à partir d'une valeur z, je place la même longueur pour obtenir la valeur t>z alors log(z/t)=log(y/x) d'où z=(y/x)*t.
On voit qu'une longueur de décalage correspond à une multiplication (*).
On a maintenant deux segments de décalage, et j'interprète l'énoncé ainsi : Le premier segment correspond à une multiplication par a (il a comme vraie grandeur log(a) ), le deuxième à une multiplication par b.
Si b = 7a, la différence des vraies longueurs est log(7a)-log(a)=log(7). Et on veut placer 7 sur l'échelle logarithmique, donc avoir justement ce log(7). La tracé géométrique est alors évident : on reporte le premier segment en [AB] sur l'axe, B étant le 1 de l'échelle, A situé du côté des nombres inférieurs à 1 ("avant 1"), puis le deuxième segment en [AC], avec C du même côté de A que B. C est le point cherché.
En espérant que ça corresponde à l'idée de cet exercice.
Cordialement.
NB : Je construisais des échelles logarithmiques de cette façon pendant les sixties.
(*) par 10 puissance la vraie longueur.
La question demeure. Quelle construction géométrique du point 7 sur l'échelle logarithmique sans calcul ?
Toujours pas d'énoncé original ... ni de contexte ... ni de remerciement ("A quoi sert que Gerard0 y se décarcasse ?")
Sauf à disposer de la courbe de la fonction exponentielle, je n'en vois pas.
Cordialement.
Lorsqu'on accole, contre une droite, les carrés de côté de longueur a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a, etc, les sommets qui ne sont pas accolés à quoi que ce soit (ni la droite, ni le carré suivant) ont une trajectoire logarithmique. Il n'est donc pas fou d'imaginer qu'on puisse construire une méthode générale pour avoir un logarithme.
Cette idée supplémentaire inspire-t-il quelqu'un ?
Ce qui serait inspirant, ce serait que tu fournisses une figure conforme à tes idées!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je sens bien que tu es intarissable sur les échelles mais que tu es infichu de nous en tracer seulement une.
Alors je me dévoue comme d'habitude et j'essaye de deviner tes pensées les plus profondes!
Serait-ce cette figure que tu as en tête?
Si oui, j'ai tracé vaille que vaille une courbe joignant ces sommets non accolés à quoique ce soit comme tu le dis si élégamment!
Est-ce cela que tu appelles une trajectoire logarithmique?
Peux-tu nous donner son équation?
Je te signale qu'on ne t'a heureusement pas attendu pour fournir au public des tables de logarithme!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Pourquoi vends -tu la mèche?
Il faut laisser PetitLutinMalicieux se dépatouiller tout seul!!!
De toute façon tant qu'il ne nous aura pas dit ce qu'il entend par trajectoire logarithmique, il n'est pas sorti de l'auberge!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bravo Pappus pour ton courage.
Bravo Pappus pour ton dessin, que tu as deviné sans que je le fasse.
Merci pour vos interventions conjointes.
Comme deux internautes ont soutenu péremptoirement que c'était un logarithme et comme le nombre dérivé donne la fonction inverse, j'ai simplement supposé qu'il n'y avait pas d'erreur dans l'hypothèse.
[aparté]
Vous imaginez bien que cette inspiration vient d'un problème qui n'a aucun rapport avec l'échelle logarithmique.
Dans la figure jointe, un triangle équilatéral de côté de longueur 1 contient 3 carrés de cotés a, 2a et 3a. Question : quelle est la valeur de a ?
[/aparté]
Mais ce n'est pas ce petit problème simple qui m'intéresse. C'est l'extrapolation pour n carrés. Surtout si n tend vers l'infini. Si la croissance est logarithmique, sans doute peut-on créer une construction géométrique d'une échelle logarithmique, sans passer par la moindre valeur numérique.
Sais-tu que tu es un peu exaspérant!
Bisam et moi te serinons que la courbe que tu as sous les yeux n’a rien à voir ni de près ni de loin avec la fonction logarithme et dans ta dernière phrase, tu utilises le conditionnel comme si cette éventualité était encore possible!!!
Peux-tu, oui ou non, nous donner l’équation de la courbe que j’ai tracée!
Je suppose que c’est un excellent exercice à la portée d’un bon lycéen de Première!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Tous les points ont des coordonnées de la forme $(p+\frac{n(n+1)}{2}a;(n+1)a)$. La position "p" n'a pas d'importance puisque c'est le type de croissance que je cherche. Pas la position.
Je prends donc deux points paramétrés par "m" et "n". Plus tard dans le calcul, je considérerai que "m" est égal à "n" à l'ajout de "h" près.
$\displaystyle Pente=\frac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{(m+1)a-(n+1)a}{p+\frac{m(m+1)}{2}a-p-\frac{n(n+1)}{2}a}=...=\frac{2}{m+n+1}=\frac{2}{n+h+n+1}=\frac{2}{2n+h+1}\underset{h\to 0}{\longrightarrow} \frac{2}{2n+1}$
Une fonction dont la dérivée est la fonction inverse n'est-elle pas un logarithme ?
Je suis idiot. Je demande le détail du calcul, ce qui est ...
Le énième point de l'échelle logarithmique de PetitLutinMalicieux a pour coordonnées $\big(\dfrac{n(n+1)}2,n+1\big).\qquad$
Ces points appartiennent donc à la courbe d'équation paramétrique:
$x=\dfrac{t(t+1)}2$, $y=t+1$
On élimine $t$ entre ces deux équations pour obtenir:
$$2x=y(y-1)$$
C'est l'équation d'une parabole.
Pour être convaincu que cette bestiole est bien une parabole, faire une petite recherche dans la classification affine des coniques, c'est tout ce qui nous reste de la théorie!
Pour obtenir la partie de la parabole correspondant aux points d'ordonnées positives, on résout l'équation du second degré en $y$ précédente. Est-ce encore au programme, je ne sais pas!!
On trouve:
$$y=\dfrac{1+\sqrt{1+8x}}2.\qquad$$
en conformité avec ce qu'avait prévu Bisam.
Pour ma part, qu'avais-je fait?
Tout d'abord tracer cette maudite échelle soi-disant logarithmique.
Ce n'est pas si facile que cela.
Ensuite j'ai demandé au logiciel de tracer la conique passant par les cinq premiers points.
Sans surprise, j'ai constaté qu'elle passait par tous les points de l'échelle que j'avais pu tracer.
Enfin j'ai demandé au logiciel l'équation de la conique. Pourquoi se fatiguer en effet?
Et froidement celui-ci m'a répondu: $2x-y(y-1)=0$.
Et tant pis pour les logarithmes, ils repasseront!!
Plus sérieusement pour une petite histoire des logarithmes et de leurs calculs, consulter le cours d'Analyse de Godement, Tome I.
Amicalement
[small]p[/small]appus
"des logarithmes et de leurs calculs"
Justement, je ne veux pas les calculer, je veux les construire géométriquement.
La réponse au paradoxe est qu'on ne dérive pas par rapport à la même variable. Tu dérives par rapport à x, c'est bien naturel. Et je dérive par rapport à n, le nombre de carrés précédents, ce qui fait apparaître un logarithme. D'où la question : qu'est-ce qui est logarithmique là-dedans ? Pas la suite des points, c'est une racine. Pas l'ordonnée en fonction de n, c'est une droite. Je continue à chercher.
Tu te défausses toujours!
Si tu ne poses pas des questions claires, ne t'attends pas à recevoir des réponses conformes à tes attentes.
Tu es comme un prestidigitateur!
Tu veux un logarithme et tu affirmes: blablablabla, ce qui fait apparaître un logarithme.
Peux-tu au moins détailler ce blablablabla pour qu'on soit convaincu?
Sinon comment veux-tu qu'on puisse continuer à dialoguer avec toi?
Amicalement
[small]p[/small]appus
CSG=coin supérieur gauche.
La droite qui relie le csg du 1er carré au csg du carré suivant, a une pente de 1/1=1.
La droite qui relie le csg du 2ème carré au csg du carré suivant, a une pente de 1/2.
La droite qui relie le csg du 3ème carré au csg du carré suivant, a une pente de 1/3.
La droite qui relie le csg du 4ème carré au csg du carré suivant, a une pente de 1/4.
La droite qui relie le csg du 5ème carré au csg du carré suivant, a une pente de 1/5.
La droite qui relie le csg du 6ème carré au csg du carré suivant, a une pente de 1/6.
La droite qui relie le csg du 7ème carré au csg du carré suivant, a une pente de 1/7.
La pente est l'inverse du rang du carré. De quoi dérive-t-elle ?
Avec cette construction il est certainement possible d'avoir certaines valeurs de la dérivée d'une fonction logarithmique en certains endroits du plan, mais de là à avoir construit la courbe logarithmique en question, il y a une infinité d'autres points à construire et ensuite il reste à utiliser une sorte d'"integraphe" (désolé, c'est à défaut de mieux dans mes connaissances).
A bientôt
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Laissons PetitLutinMalicieux avec son échelle.
Il n'a rien montré du tout et ne sait même pas lui même ce qu'il veut trouver exactement!
Heureusement qu'on ne l'a pas attendu pour calculer un logarithme!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Pappus, la simple vérité est que tu ne sais pas. Voilà pourquoi tu fais des attaques ad personam. Pas joli-joli quand on a ton savoir et ton expérience.
Merci Dreamer pour les intégraphes. Je ne connaissais pas. J'avais déjà utilisé un pantographe. Mais l'intégraphe, c'est encore plus utile.
Je vais y réfléchir.
Les petits vieux apprécieront!
Heureusement pour eux, ils n'auront pas longtemps à attendre en cette période virale.
J'ai lu ta prose et tu aurais pu continuer éternellement, cela n'aurait rien changé.
Ce n'est pas parce que tu découvres avec émerveillement une suite $n\mapsto \dfrac 1 n$ que tu vas faire sortir un logarithme de ton chapeau!!
Comment vas-tu continuer maintenant à nous dire quelque chose d'intéressant après l'écriture de cette suite?
J'avoue que je ne sais pas (ce que tu vas bien pouvoir nous dire!!).
Amicalement
[small]p[/small]appus