Surface horizontale à une submersion

Bonjour chers tous.
Je travaille sur la géométrie riemannienne de Wasserstein des densités gaussiennes.
L'article mis en [pièce] jointe comporte une notion (page 22) : la notion de surface horizontale à une submersion.
En effet, le but initial était de doter $\mathrm{Sym}^{++}(n)$, l'ensemble des matrices symétriques définies positives d'ordre $n$ d'une métrique riemannienne.
Ce qui a été accompli.

Ensuite une géodésique métrique a été trouvée relativement à cette métrique.
On cherche à présent à montrer que la géodésique métrique trouvée coïncide avec la géodésique riemannienne (sur une variété pseudo-riemannienne, une géodésique $M$ est définie par une courbe paramétrée régulière ${ \lambda \mapsto \gamma (\lambda )}$ qui transporte parallèlement son propre vecteur tangent).
Une submersion, on s'en rappelle, est une application différentiable entre deux variétés différentiables dont la différentielle en tout point est surjective.
Même la définition de surface n'est pas claire (une surface de $\mathbb{R}^3$ est l'image par une surface paramétrée d'un ouvert de $\mathbb{R}^2$ à ma connaissance).

Mais ici : une surface $ \theta \mapsto A(\theta) \in \text{GL} (n) $, avec $ \theta \in \Theta $, où $\Theta$ est un sous-ensemble ouvert de $ \mathbb {R}^n $, est appelée surface horizontale pour la submersion $ \sigma A \mapsto AA^* $, si $\partial / \partial \theta_j A (\theta) \in \mathscr{H}_{A (\theta )}$ pour chaque $ j $ et $ \theta ,$ avec
$\mathscr{H}_{A (\theta )}$ l'espace des vecteurs horizontaux à $A$.

Ma question.
Comment définit-on une surface dans le cadre d'une variété riemannienne, avez-vous une autre défintion plus claire de la notion de surface horizontale à une submersion ?
Merci d'avance.