Ellipse

mcd
mcd
dans Géométrie
Bonjour,

J'ai cru comprendre que le grand axe d'une ellipse et le petit axe correspondent les directions où une certaines fonction est maximale et respectivement minimale. (Voir Queffelec Zuily page 386, analyse pour l'agrégation)

Du coup j'aimerais comprendre ! Comment ça marche ?

Réponses

  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Bonjour

    De quoi parles-tu ? Des lois de Kepler, de la vitesse à l'apogée et au périgée ?

    Sans le livre, ni photo, on se sent exclu de la discussion.
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
  • gerard0
    gerard0
    Regarde déjà la distance du centre au point courant de l'ellipse.

    mais je suis prêt à parier que ton livre parlait d'autre chose. Sans le contexte, il sera difficile de t'aider.

    Cordialement.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Gerard0
    Je parie que son livre devait tourner autour du théorème spectral, un théorème qu'il vaut mieux connaître en ces temps difficiles!
    Non seulement ce théorème était connu autrefois même s'il n'était pas enseigné mais nos aïeux savaient aussi construire à la règle et au compas les axes de la conique de centre $O$ passant par les points $A$, $B$, $C$.
    Je n'ose demander comment ils s'y prenaient!
    Comme aujourd'hui l'enseignement des coniques a pratiquement disparu, on parlerait plutôt de la diagonalisation simultanée de deux formes quadratiques dont l'une est définie positive.
    L'avantage de ce point de vue est qu'il n'y a plus rien à dessiner et quoi dessiner d'ailleurs?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Sur la figure ci-dessous, les données sont le triangle $ABC$ et le point $O$ qui sert de paramètre.
    J'ai tracé la conique de centre $O$ passant par les points $A$, $B$, $C$, fastoche avec le logiciel.
    Ce qui l'est beaucoup moins, c'est de savoir où doit se trouver le point $O$ pour que la conique soit une ellipse ou une hyperbole.
    Mission impossible aujourd'hui donc mais il nous reste encore les formes quadratiques avec lesquelles on peut faire mumuse, encore heureux!!
    Ensuite j'ai effectué sans démonstration, (à quoi bon la donner!), la construction connue de nos aïeux des axes de la conique.
    On obtient ainsi un champ de directions, un champ de gudules, dirait Pierre!
    Quelles en sont les courbes intégrales?
    Encore une partie du cours de Taupe qu'il vaut mieux savoir: les équations différentielles!!108786
  • mcd
    mcd
    Bonjour à tous,

    Merci d'avoir répondu malgré l'absence de photo. Je pourrais envoyer une photo mais encore une fois il nous manquerait des éléments. C'est la fin d'une section longue de deux pages.

    En fait le problème est l'étude d'un système différentielle $X'=AX$ avec $A$ une matrice réelle de taille $2$. Et dans le cas où $A$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$ avec des valeurs propres imaginaire pures.
    Comme la matrice $A$ est réelle on en déduit que les valeurs propres sont conjuguées, on peut les écrire $a + ib$ et $a-ib$.
    Il existe alors une base dans laquelle la matrice $A$ est de la forme $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$.
    Dans cette base il est facile de décrire la solution au problème de Cauchy $(t_{0},X_{0})$ du système $X' =AX$. Identifions $\mathbb{C}$ avec $ \mathbb{R}^{2}$ alors $A = a + i b = \omega $ et donc l'équation s'écrit $ z' = \omega w$ donc la solution recherchée est $ z(t) = \exp \left( (t-t_{0})a \right) \exp\left(i(t-t_{0}) b \right) z_{0}$

    On constate que si $a = 0$ les trajectoires des solutions sont des ellipses. Et on cherche à donc à calculer les axes de l'ellipse.

    Le livre propose l'astuce suivante : On pose $\rho = x^{2} + y^{2}$ alors les axes sont les directions où $\rho$ est maximale et minimale.
    C'est cette proposition là que j'aimerais bien comprendre.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Mini_calli
    Pour comprendre, est-tu prêt à t'enfiler toute la théorie des coniques euclidiennes?
    Je ne peux pas le faire à a place!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • mcd
    mcd
    Dur :)o

    Faut combien de page de théorie ? Une ? Deux ? une c'est bien ou deux avec des figures :-D
  • pappus
    pappus
    Mon cher Mini_Calli
    C'est [large] TON[/large] problème et pas le mien!
    Si tu n'es pas motivé, personne ne t'oblige à rien.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • mcd
    mcd
    Vous avez tout à fait raison Pappus je vais aussi en parler avec les autres membres du forums si ça ne vous dérange pas :).
  • pappus
    pappus
    Mon cher Mini_calli
    Ça ne me dérange pas!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • gerard0
    gerard0
    Bonsoir Minicalli.

    Si le centre de ton ellipse est en (0,0), alors je t'ai répondu dès le début. D'ailleurs, je ne vois pas d'autre cas où cette méthode s'applique, et ce que tu écris me confirme dans cette idée.

    Cordialement.
  • mcd
    mcd
    Pas de réponse tant pis.
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