Deux perpendiculaires
dans Géométrie
Mon cher Pappus,
ce problème t'est destiné...en priorité...un clin d'oeil pour....
1. ABC un triangle
2. (O) le cercle circonscrit à ABC
3. P un point sur (AO)
4. Hb, Hc les orthocentres resp. des triangles ABP, ACP
5. D le point d’intersection de (HbHc) et (BC).
Question : (AD) est perpendiculaire à (BC).
Sincèrement
Jean-Louis
ce problème t'est destiné...en priorité...un clin d'oeil pour....
1. ABC un triangle
2. (O) le cercle circonscrit à ABC
3. P un point sur (AO)
4. Hb, Hc les orthocentres resp. des triangles ABP, ACP
5. D le point d’intersection de (HbHc) et (BC).
Question : (AD) est perpendiculaire à (BC).
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Un tout petit Morley circonscrit:
Cordialement,
Rescassol
Merci pour ton joli problème que j'ai résolu dès mon premier coup d'œil.
C'est assez rare pour être souligné car la plupart du temps je reste sec et plus que sec sur les énigmes que tu nous proposes.
Pour me consoler, je préfère alors parcourir le calendrier dans le sens trigonométrique: Denis, Paul, Leu, Pierre, Joseph, Philippe, Rose, Benoit, André, Suzanne, Marie!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Maintenant qu'on a la solution de Rescassol par les complexes, il ne reste plus que celle de Bouzar par les coordonnées barycentriques.
Voici la mienne que tu ne qualifieras pas de synthétique puisque j'emploie des transformations mais il y a peu de chose à changer pour la rendre conforme à tes vœux!
Par exemple le point $P$ décrit la droite $AO$ et le point $H_B$ décrit la droite $L_B$ passant par $B$ et orthogonale à $OA$.
Comme la droite $PH_B$ reste parallèle à une direction fixe puisqu'elle est perpendiculaire à $AB$, la correspondance entre les points $P$ et $H_B$ est affine.
De même le point $H_C$ décrit la droite $L_C$ passant par $C$ et perpendiculaire à $OA$.
Donc la correspondance entre les points $P$ et $H_C$ est affine puisque la droite $PH_C$ reste parallèle à une direction fixe, à savoir la direction orthogonale à $AC$.
Résultat des courses.
La correspondance entre les points $H_B$ et $H_C$ sur les droites parallèles $L_B$ et $L_C$ est affine.
Donc la droite $H_BH_C$ passe soit par un point fixe soit reste parallèle à une direction fixe.
Pour savoir ce qu'il en est, on donne deux positions particulières à $P$ et je vous laisse deviner lesquelles!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
je pensais t'offrir une solution par le recours à une hyperbole équilatère que tu affectionnes...
Peut-être tu vas y penser comme dans le problème ''Deux angles égaux''...
Merci pour ta belle preuve...ainsi que celle de Rescassol...
Sincèrement
Jean-Louis
J'utilise les coordonnées barycentriques.
$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
$O \simeq \left[\begin{array}{c} a^2 (a^2 - b^2 - c^2)\\ b^2 (-a^2 + b^2 - c^2)\\c^2 (-a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right]$
$P \simeq \left[\begin{array}{c} 1 - t + a^2 (a^2 - b^2 - c^2) t\\ b^2 (-a^2 + b^2 - c^2) t\\ c^2 (-a^2 - b^2 + c^2) t\end{array}\right]$
$Hb \simeq \left[\begin{array}{c} (b^2 - c^2) (2 + (-2 + a^4 + b^4 - 2 b^2 c^2 + c^4 - 2 a^2 (b^2 + c^2)) t)\\ a^6 t - b^4 c^2 t - a^4 (2 b^2 + 3 c^2) t + c^2 (-1 + t - c^4 t) + b^2 (-1 + t + 2 c^4 t) + a^2 (1 + (-1 + b^4 + 3 c^4) t)\\ c^2 (2 + (-2 + a^4 + b^4 - 2 b^2 c^2 + c^4 - 2 a^2 (b^2 + c^2)) t)\end{array}\right]$
$Hc \simeq \left[\begin{array}{c} (b^2 - c^2) (2 + (-2 + a^4 + b^4 - 2 b^2 c^2 + c^4 -2 a^2 (b^2 + c^2)) t)\\ -b^2 (2 + (-2 + a^4 + b^4 - 2 b^2 c^2 + c^4 - 2 a^2 (b^2 + c^2)) t)\\ -c^2 (-1 + t) - a^6 t + b^6 t -2 b^4 c^2 t + a^4 (3 b^2 + 2 c^2) t + b^2 (1 + (-1 + c^4) t) + a^2 (-1 - (-1 + 3 b^4 + c^4) t)\end{array}\right]$
$D \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\end{array}\right]$
Montrons que $(AD)$ est perpendiculaire à $(BC).$
$(BC) \simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$
$(AD) \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 - b^2 + c^2\end{array}\right]$
On a :
$\left[\begin{array}{c} 1 & 0& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{c} 0\\ a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 - b^2 + c^2\end{array}\right]=0$
Ainsi $(AD)$ est perpendiculaire à $(BC).$
Amicalement
Je ne fais pas de fixation particulière sur les hyperboles équilatères d'autant plus que j'avais vu dès le début que ton problème appartenait à la géométrie affine.
Avec la solution de Bouzar, la boucle est bouclée!
Amicalement
[small]p[/small]appus
juste pour dire que
l'hyperbole équilatère passant par H (orthocentre de ABC) et par P passent aussi par Hb et Hc...
La recherche d'un hexagone inscrit et une remarque conduit au résultat demandé...
Sincèrement
Jean-Louis
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Hyperboles equilateres.pdf p. 5-9.
Sincèrement
Jean-Louis