Deux perpendiculaires

Bonjour,

Un tout petit Morley circonscrit:

% Jean-Louis Ayme - 01/09/2020 - Deux perpendiculaires 

clc, clear all, close all

syms a b c;
syms aB bB cB; % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

%-----------------------------------------------------------------------

syms k real

p=k*a;       % Un point P de (OA)
pB=k*aB;

[hb hbB]=Orthocentre(a,b,p,aB,bB,pB); % Orthontre Hb de ABP
[hc hcB]=Orthocentre(a,c,p,aB,cB,pB); % Orthontre Hc de ACP

[ph qh rh]=DroiteDeuxPoints(hb,hc,hbB,hcB); % Droite (Hb Hc)

% Point d'intersection D des droites (Hb Hc) et (BC)

[d dB]=IntersectionDeuxDroites(ph,qh,rh,1,b*c,-b-c);

d=Factor(d)     %  On trouve d = (a*b + a*c - b*c + a^2)/(2*a)

% Les droites (AD) et (BC) sont orthogonales
 
Nul=Factor((d-a)*(cB-bB)+(dB-aB)*(c-b)) % Égal à 0, donc c'est gagné

Cordialement,

Rescassol

Mon cher Jean-Louis.
Maintenant qu'on a la solution de Rescassol par les complexes, il ne reste plus que celle de Bouzar par les coordonnées barycentriques.
Voici la mienne que tu ne qualifieras pas de synthétique puisque j'emploie des transformations mais il y a peu de chose à changer pour la rendre conforme à tes vœux!
Par exemple le point $P$ décrit la droite $AO$ et le point $H_B$ décrit la droite $L_B$ passant par $B$ et orthogonale à $OA$.
Comme la droite $PH_B$ reste parallèle à une direction fixe puisqu'elle est perpendiculaire à $AB$, la correspondance entre les points $P$ et $H_B$ est affine.
De même le point $H_C$ décrit la droite $L_C$ passant par $C$ et perpendiculaire à $OA$.
Donc la correspondance entre les points $P$ et $H_C$ est affine puisque la droite $PH_C$ reste parallèle à une direction fixe, à savoir la direction orthogonale à $AC$.
Résultat des courses.
La correspondance entre les points $H_B$ et $H_C$ sur les droites parallèles $L_B$ et $L_C$ est affine.
Donc la droite $H_BH_C$ passe soit par un point fixe soit reste parallèle à une direction fixe.
Pour savoir ce qu'il en est, on donne deux positions particulières à $P$ et je vous laisse deviner lesquelles!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir à tous,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

$O \simeq \left[\begin{array}{c} a^2 (a^2 - b^2 - c^2)\\ b^2 (-a^2 + b^2 - c^2)\\c^2 (-a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right]$

$P \simeq \left[\begin{array}{c} 1 - t + a^2 (a^2 - b^2 - c^2) t\\ b^2 (-a^2 + b^2 - c^2) t\\ c^2 (-a^2 - b^2 + c^2) t\end{array}\right]$

$Hb \simeq \left[\begin{array}{c} (b^2 - c^2) (2 + (-2 + a^4 + b^4 - 2 b^2 c^2 + c^4 - 2 a^2 (b^2 + c^2)) t)\\ a^6 t - b^4 c^2 t - a^4 (2 b^2 + 3 c^2) t + c^2 (-1 + t - c^4 t) + b^2 (-1 + t + 2 c^4 t) + a^2 (1 + (-1 + b^4 + 3 c^4) t)\\ c^2 (2 + (-2 + a^4 + b^4 - 2 b^2 c^2 + c^4 - 2 a^2 (b^2 + c^2)) t)\end{array}\right]$

$Hc \simeq \left[\begin{array}{c} (b^2 - c^2) (2 + (-2 + a^4 + b^4 - 2 b^2 c^2 + c^4 -2 a^2 (b^2 + c^2)) t)\\ -b^2 (2 + (-2 + a^4 + b^4 - 2 b^2 c^2 + c^4 - 2 a^2 (b^2 + c^2)) t)\\ -c^2 (-1 + t) - a^6 t + b^6 t -2 b^4 c^2 t + a^4 (3 b^2 + 2 c^2) t + b^2 (1 + (-1 + c^4) t) + a^2 (-1 - (-1 + 3 b^4 + c^4) t)\end{array}\right]$

$D \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\end{array}\right]$

Montrons que $(AD)$ est perpendiculaire à $(BC).$

$(BC) \simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$(AD) \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 - b^2 + c^2\end{array}\right]$

On a :

$\left[\begin{array}{c} 1 & 0& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{c} 0\\ a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 - b^2 + c^2\end{array}\right]=0$

Ainsi $(AD)$ est perpendiculaire à $(BC).$

Amicalement