Cercles inscrits.

kolotoko · September 2020

Bonjour,
un exercice de lycée.

Soit un triangle ABC rectangle en A.
L'hypoténuse BC mesure 4 cm et l'aire du triangle ABC vaut 3 cm².
Un point D situé sur l'hypoténuse est tel que AD² = 3 cm².
Montrer que les cercles inscrits dans les triangles ADB et ADC ont même rayon r.

Bien cordialement.
kolotoko

Bouzar · September 2020

Bonjour kolotoko,

AD² = 3 cm² ??

PetitLutinMalicieux · September 2020

Bonjour

$AB^2+AC^2 = 4^2 = 16$
$AB.AC = 2*3 = 6$

$(AB+AC)^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB.AC = 16 +12 = 28 = 4*7$
$AB+AC=2\sqrt{7}$
$AB=2\sqrt{7}-AC$
$(2\sqrt{7}-AC)AC=6$
$AC^2-2\sqrt{7}AC+6=0$
$b'=-\sqrt{7}$
$\Delta '=7-6=1$
$AC=-b'\pm \sqrt{\Delta '} = \sqrt{7} \pm 1$

AC est "+" et AB est "-" ou l'inverse. Dès lors, tu peux placer un repère avec A pour origine. Tu as alors toutes les coordonnées des points. B(0:AB) et C(AC;0) par exemple.

Rappel : le centre du cercle inscrit est le point de concours des bissectrices des angles du triangle.

kolotoko · September 2020

Bonjour,

si AD mesure 1,7320508..cm alors AD² = 3cm².

Bien cordialement.

kolotoko

Jean-Louis Ayme · September 2020

Bonjour,
construction de deux cercles inscrits égaux :

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Forme.pdf p. 30-33.

Sincèrement
Jean-Louis

PetitLutinMalicieux · September 2020

Page 12 de ton document, Y et Z sont désignés comme les "centres des triangles". Mais le centre est le point de concours des médianes. C'est plutôt les "centres des cercles inscrits des triangles". Est-ce une imprécision ? Une faute ? Ou est-ce moi qui ai loupé un épisode ?

Jean-Louis Ayme · September 2020

Bonjour,

j'ai opté pour ''centre'' au lieu de ''centre du cercle inscrit''
et
pour ''point médian'' au lieu de ''centre de gravité''...

Sincèrement
Jean-Louis

kolotoko · September 2020

Bonjour,

les calculs de PetitLutinMalicieux sont corrects et les coordonnées de B et C sont exactes.

Il ne reste plus qu'à montrer l'égalité des rayons des cercles inscrits des deux triangles ADB et ADC.

Bien cordialement.

kolotoko

PetitLutinMalicieux · September 2020

Ben vas-y. On te regarde.

kolotoko · September 2020

Bonjour,

je pense qu'une figure bien réalisée permettrait d'envisager une manière de faire cet exercice et d'éviter les calculs trop compliqués.

Ceci dit, on ne peut qu'admirer le document envoyé par Jean-Louis.

Bien cordialement.

kolotoko

Bouzar · September 2020

Bonsoir,

On a :

$a=BC=4,$
$b=AC=\sqrt{7}-1,$
$c=AB=\sqrt{7}+1,$
$d=AD=\sqrt{3}.$

$D=(1-\lambda).C+ \lambda.B$ et l'équation $AD^2=3$ donne $\lambda=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}\sqrt{7}+\dfrac{1}{8}\sqrt{3}.$

$e=CD=\sqrt{\dfrac{13}{2}-2\sqrt{7}+2\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\sqrt{7}}.$

$f=BD=\sqrt{\dfrac{13}{2}+2\sqrt{7}-2\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\sqrt{7}}.$

Je pose $s_1=\dfrac{b+d+e}{2}$ et $s_2=\dfrac{c+d+f}{2}.$

Je note $r_1$ le rayon du cercle inscrit au triangle $ADC$ et $r_2$ le rayon du cercle inscrit au triangle $ADB.$

En utilisant la formule de Héron, on obtient :

$r_1=\sqrt{\dfrac{(s_1-b)(s_1-d)(s_1-e)}{s_1}}$ et $r_2=\sqrt{\dfrac{(s_2-c)(s_2-d)(s_2-f)}{s_2}}.$

Un calcul montre que $r_1=r_2\simeq 0,4703814801.$

Ainsi, on a montré que les cercles inscrits dans les triangles $ADB$ et $ADC$ ont même rayon $r=r_1=r_2.$

Amicalement

kolotoko · September 2020

Bonjour,
merci Bouzar pour la résolution de mon exercice.

Quelques remarques.
On peut simplifier les écritures de e et f.
En supposant que r₁ = r₂, leur valeur commune se calcule aisément avec la formule S = pr appliquée dans ADB et ADC et en remarquant que la somme des aires de ces triangles vaut 3 d'après l'énoncé.
La valeur indiquée 0,4703...vaut 3/(c+d+1).
Dernière remarque et c'est la plus importante car c'est elle qui m'a conduit à imaginer cet exercice : les angles ADB et ADC ne sont pas quelconques car ADB = 60° et ADC = 120°.

Bien cordialement.
kolotoko