Triangles égaux et triangles semblables

willouuu
willouuu
dans Géométrie
Bonjour à toutes et à tous,
après de multiples hésitations sur la section appropriée où publier mes questions je me suis décidé pour la section géométrie.

Dans le programme du cycle 4 du collège sont abordées les notions de triangles égaux et triangles semblables. Rien de bien difficile dans ce que demande le programme. Il faut en connaitre à chaque fois une définition et une propriété.

Ma question porte sur la démonstration des dites propriétés. Connaissez vous des démonstrations accessibles avec les connaissances du niveau collège?

Je comprends que ma question peut sembler floue. Alors je précise. Par exemple, en définissant ainsi les triangles égaux :

triangles ayant leurs côtés deux à deux de même longueurs,

Comment démontrer la propriété qui suit :

Si deux triangles sont égaux alors leurs angles sont deux à deux de même mesure?

J'ai bien entendu un peu réfléchi en amont. J'ai regardé du côté des triangles isométriques. Mais à chaque fois cette propriété est cité comme évidente. En partant du fait qu'une isométrie conserve les angles, en effet, elle l'est.

Mais dans ce cas là, comment démontre t-on qu'une isométrie conserve la mesure d'un angle géométrique?

Bien entendu je me doute bien qu'une réponse avec les outils du collège semble plus que difficile. Mais si vous avez des références en ligne ou dans des ouvrages de références je serai preneur, car ce n'est pas totalement inutile dans le cadre d'une préparation à l'agrégation interne.

Au plaisir de vous lire,
Willouuu

Réponses

  • Neogramme
    Neogramme
    Il n'existe qu'un seul triangle dont les côtés sont respectivement a, b et c, alors qu'il existe une infinité de triangle dont les angles sont a, b, c. Les premiers sont dit égaux et les seconds semblables.

    Quant à la démonstration de l'égalité des triangles égaux, elle est beaucoup trop évidente et triviale pour être démontrée. Je te conseille plutôt de démontrer qu'il n'existe qu'un seul triangle définissable connaissant tout ses côtés car cette propriété est unique au triangle (elle n'est pas vraie pour un tétraèdre par exemple).

    [Ne peux-tu te relire avant d'envoyer de façon à éliminer ces coquilles qui piquent les yeux. AD]
  • willouuu
    willouuu
    Merci pour ta réponse. Qui n'en n'est pas une.

    On retrouve cet argument d'évidence un peu partout, mais dans ce cas là pourquoi ne pas l'écrire ? En fait pour moi il n'y a rien d'évident dans le fait qu'avoir des côtés deux à deux égaux entraîne l'égalité des angles. Si ce n'est pas un axiome c'est que ça peut se démontrer.

    Ensuite la propriété qui dit que si deux triangles ont des angles égaux alors il y a proportionnalité entre les mesures de leurs côtés elle ne me semble pas si évidente que cela.
  • Eric
    Eric
    J'ai posté il y a quelques mois un cours complet, niveau 4e, avec démonstrations, sur le chapitre Triangles égaux :
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2002040,2002748#msg-2002748
  • Dasson
    Dasson
    A propos de triangles égaux

    A propos de triangles semblables

    Peut-être utile ?
  • Ludwig
    Ludwig
    On voit bien à la récurrence de ce sujet sur le forum que c'est un chapitre qui pose problème. Je souhaite bon courage à celles et ceux qui voudraient se lancer dans des démonstrations de ces propriétés qui, il est vrai, peuvent paraître évidentes. Peut-être, avec un excellent public..
    Si c'est évident, alors pourquoi ne pas le dire ? Bonne question willouuu. Ben faut le dire bien sûr, mais peut-être en indiquant une direction en même temps, que c'est lié par exemple à la structure du plan (et donc que c'est pas si évident que ça... on leur fait signe quand même). Qu'on trouve les preuves dans Euclide.
    Ok c'est un peu marcher sur des oeufs, mais tenter une preuve c'est aussi risquer de briser cette "évidence" (je sais bien c'est anti-mathématique de dire ça) que la plupart des élèves ont. Mais les perturber ici me semble contre-productif.
  • willouuu
    willouuu
    Merci pour ce très beau document @Eric dont j'aime beaucoup l'introduction. Mais dans ta première définition tu définies les triangles égaux. En précisant que cela implique l'égalité des mesures des côtés homologues (ce qui est logique ) mais également l'égalité des mesures des angles. Or, ici cela me semble pour ma part moins évident.

    @Dasson merci pour les liens vers les vidéos. Ca demande du temps de faire tout cela.

    @Ludwig dans les faits il ne s"agit pas tant de présenter la preuve à mes élèves que d'avoir une idée de comment on pourrait le faire avec des outils "élémentaires".

    Pour bien clarifier ma démarche, je trouve dangereux de faire un cours dont on ne sait pas démontrer les propriétés. En tant qu'enseignant de mathématiques, j'ai entendu maintes fois quand j'étais au lycée les collègues se plaindre de ces élèves qui ne savent pas démontrer. Mais comment pourraient-ils y arriver si on ne leur montre jamais une preuve. Et puis, quand bien même nous ne leur faisons pas de démonstration, ne pas savoir démontrer les propriétés que l'on enseigne c'est un peu participer au crime.

    Revenons à ma question initiale.
    Pour démontrer que si on a des triangles égaux alors les mesures de leurs angles homologues sont les mêmes, il faut utiliser que l'on peut passer d'un des triangles à l'autre en maximum trois symétries axiales.

    Pour démontrer que des triangles semblables ont des côtés homologues proportionnels on peut utiliser la bonne homothétie.

    Merci du temps que vous avez passez à répondre à ma question.
    Willouuu
  • soland
    soland
    Le chemin le plus direct allant de l'égalité des côtés à celle des angles passe par le théorème du cosinus :
    $$
    \cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.

    $$ Il permet aussi le traitement du cas côté-angle-côté.

    Pour prouver le théorème du cosinus (cf. le dessin).
    On suppose que les angles en B et C sont aigus, puis
    $h^2 = b^2-m^2 = c^2-n^2$
    $b^2-c^2 = m^2-n^2=a(m-n)$
    $m+n=a$ et $m-n=(b^2-c^2)/a$
    $$
    2m = \frac{a^2+b^2-c^2}{a}\quad | ÷2b
    \\
    \cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.

    $$ Les élèves vous accorderont volontiers la même formule pour l'angle éventuellement obtus $\alpha$.

    Roue de secours : Le théorème du cosinus est difficile, vous verrez sa démonstration en $x$-ième.109006
  • Eric
    Eric
    @willouuu : il n'y a pas d'implication, il y a une définition. Tu essaies de démontrer la définition que je donne...

    En fait, et comme d'hab, il faut être clair sur les axiomes.
    Je suis l'axiomatique de Hilbert (sans préciser explicitement tous les axiomes). Dans cette axiomatique, la définition est celle que je donne. Il n'y a pas à la démontrer.

    Si tu choisis une autre axiomatique, ma définition et l'axiome qui va avec deviennent des théorèmes, éventuellement à démontrer. Soland te donne le chemin.
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