Cercle de Bevan

Rescassol
Rescassol
dans Géométrie
Bonjour,

Voici une généralisation d'un résultat de Seiichi Kirikami paru sur la liste Euclid.
Le cercle de Bevan d'un triangle $ABC$ est le cercle passant par les trois centres $J_A,J_B,J_C$ des cercles
exinscrits, son centre est $X_{40}(x_{40})$ avec $x_{40}=\dfrac{4s_1s_3}{s_1s_2-s_3}$.
Ce cercle recoupe les côtés $(BC),(CA),(AB)$ de $ABC$ respectivement en $D,E,F,G,H,J$.
$X_{84}(x_{84})$ est l'isogonal de $X_{40}$ par rapport au triangle $ABC$.
On a $x_{84}=\dfrac{4s_3(s_1^2s_2+s_1s_3-2s_2^2)}{(s_1s_2-s_3)^2}$.
Le résultat de Seiichi Kirikami est que les droites d'Euler des triangles $DEX_{84},FGX_{84},HJX_{84}$
sont concourantes en un point $M$. De plus, $M$ est aligné avec $X_{40}$ et $X_{84}$.
J'ai vérifié ce résultat avec Morley inscrit et obtenu $M(m)$ avec $m=\dfrac{NumM}{DenM}$ (première figure) avec: 
NumM=- 4*s1^7*s2^3*s3 + s1^6*s2^5 - 4*s1^6*s2^2*s3^2 + 19*s1^5*s2^4*s3 - 28*s1^5*s2*s3^3 - 4*s1^4*s2^6 + 6*s1^4*s2^3*s3^2 + 4*s1^4*s3^4 - 4*s1^3*s2^5*s3 + 90*s1^3*s2^2*s3^3 - 52*s1^2*s2^4*s3^2 - 23*s1^2*s2*s3^4 - 44*s1*s2^3*s3^3 + 3*s1*s3^5 + 32*s2^5*s3^2 + 8*s2^2*s3^4;
DenM=- 4*s1^5*s2^2*s3 + s1^4*s2^4 - 8*s1^4*s2*s3^2 + 20*s1^3*s2^3*s3 - 36*s1^3*s3^3 - 4*s1^2*s2^5 + 26*s1^2*s2^2*s3^2 - 8*s1*s2^4*s3 + 60*s1*s2*s3^3 - 36*s2^3*s3^2 - 11*s3^4;
Ce point n'est pas dans l'ETC.
J'ai ensuite voulu généraliser et j'ai cherché le lieu des points $N(n)$ tels que les droites d'Euler des triangles
$DEN,FGN,HJN$ soient concourantes en un point $N'$.
J'ai trouvé la réunion du cercle de Bévan et d'une quartique (seconde figure).
Si $N$ est sur le cercle de Bevan, $N'$ est en $X_{40}$.
Cette quartique a deux asymptotes qui ont pour équation $s_1z^2-s_2s_3\overline{z}^2=0$.
Ce sont les deux droites passant par $I$ (centre du cercle inscrit dans $ABC$) et dirigée par
les racines quatrièmes de $s_2$.

Cordialement,

Rescassol

Edit: J'ai beau me relire 10 fois, il reste toujours des typos...:-X108928
108930

Réponses

  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Rescassol
    Puisque tu parles de généralisation, voici ce que je suggère : la propriété que tu évoques du cercle de Bevan est en fait valable pour n'importe quel cercle. Plus précisément :
    Un cercle de centre $\Omega $ coupe les droites $BC,CA,AB$ respectivement en $D$ et $E$, $F$ et $G$, $H$ et $J$.
    Alors, si $\Omega ^{\ast }$ est l'isogonal de $\Omega $, les droites d'Euler des triangles $DE\Omega ^{\ast },FG\Omega ^{\ast },HJ\Omega ^{\ast }$ concourent sur la droite $\Omega \Omega ^{\ast }$.
    Tu dois pouvoir le vérifier avec la collaboration de ton fidèle ami Morley moyennant quelques calculs épouvantables.
    Toute preuve relativement simple est la bienvenue.
    Bien cordialement. Poulbot

    PS : Je ne sais pas comment joindre la liste Euclid ni la discussion où l'on trouve cette propriété du cercle de Bevan mais je ne serais pas surpris si un intervenant avait remarqué, comme moi, qu'en fait cette propriété est valable pour n'importe quel cercle
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour Poulbot,

    Je suis heureux de te voir à nouveau parmi nous. Comment vas-tu ?
    Je vais essayer de voir si ta nouvelle généralisation peut se faire avec des calculs raisonnables.

    Cordialement,
    Rescassol
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Poulbot, je suis finalement venu à bout de ce calcul "monstueux".
    Avec Morley circonscrit, il l'est moins que dans le cas du cercle de Bevan avec Morley inscrit.
    J'ai un peu changé tes notations:
    On part du triangle $ABC$ inscrit dans le cercle unitaire et d'un cercle quelconque $\Gamma$de centre $M$ et de rayon carré $R2$.
    $N$ est l'isogonal de $M$ par rapport à $ABC$.
    $\Gamma$ coupe $(BC),(CA),(AB)$ respectivement en $D,E,F,G,H,J$.
    Les droites d'Euler des triangles $NDE,NFG,NHJ$ sont alors concourantes en un point $T$.
    Je trouve $T(t)$ avec $t=\dfrac{NumT}{DenT}$ où 
    NumT=(-2*s3)*m^5*mB^4 - m^6*mB^2 + s2*m^5*mB^3 + 3*m^5*mB + s1*s3*m^4*mB^4 + (5*s3 + 2*R2*s3 - s1*s2)*m^4*mB^3 + (s1^2 - 2*s2)*m^4*mB^2 + (-2*s1)*m^4*mB - m^4 + (-s2*s3)*m^3*mB^4 + (s2^2 - s1*s3)*m^3*mB^3 + (- 6*s3 - 5*R2*s3)*m^3*mB^2 + (- s1^2 + 5*s2)*m^3*mB + (-s1)*m^3 + (-R2*s3^2)*m^2*mB^4 + R2*s2*s3*m^2*mB^3 + (3*s1*s3 - R2*s1*s3)*m^2*mB^2 + (4*R2*s3 - s3 - 3*s1*s2)*m^2*mB + (3*s1^2 - s2)*m^2 + s3^3*m*mB^6 + (-2*s2*s3^2)*m*mB^5 + (s2^2*s3 + s1*s3^2)*m*mB^4 + (2*R2*s3^2 + 3*s3^2)*m*mB^3 + (- 5*s2*s3 - s1*s2^2 - s1^2*s3 - 2*R2*s2*s3)*m*mB^2 + (3*s1*s3 + 2*s1^2*s2 + 2*s2^2 + 2*R2*s1*s3)*m*mB + (- s1^3 - 2*s2*s1 + s3 - R2*s3)*m + (-2*s3^3)*mB^5 + 5*s2*s3^2*mB^4 + (- 4*s2^2*s3 - 4*s1*s3^2)*mB^3 + (s2^3 + 6*s1*s2*s3 - R2*s3^2)*mB^2 + (- 2*s3*s1^2 - 2*s1*s2^2 + R2*s3*s2)*mB + s2*s1^2 - R2*s3*s1
DenT=(m*mB - 1)*((-3*s3)*m^3*mB^3 - 2*m^4*mB + s2*m^3*mB^2 + s1*m^3*mB + 5*m^3 + s1*s3*m^2*mB^3 + (6*s3 + 3*R2*s3 - s1*s2)*m^2*mB^2 + s1^2*m^2*mB + (-7*s1)*m^2 + (-2*s3^2)*m*mB^4 + s2*s3*m*mB^3 + s2^2*m*mB^2 + (- 8*s3 - 6*R2*s3 - 3*s1*s2)*m*mB + (2*s1^2 + 5*s2)*m + 5*s3^2*mB^3 + (-7*s2*s3)*mB^2 + (2*s2^2 + 5*s1*s3)*mB + 3*R2*s3 - s3 - 2*s1*s2)
    J'ai vérifié que $M,N,T$ sont alignés.
    A titre d'exemple, dans le cas où $\Gamma$ est le cercle d'Euler de $ABC$, on trouve $T=X_{10211}$ avec: 
    NumT=(3*s1^6*s2^2*s3 - s1^5*s2^4 - 20*s1^5*s2*s3^2 - s1^4*s2^3*s3 + 16*s1^4*s3^3 + 2*s1^3*s2^5 + 66*s1^3*s2^2*s3^2 - 23*s1^2*s2^4*s3 - 96*s1^2*s2*s3^3 + 2*s1*s2^6 + 8*s1*s2^3*s3^2 + 32*s1*s3^4 + 16*s2^2*s3^3)
DenT=(s3 - s1*s2)*(4*s3 - s1*s2)*(8*s1^3*s3 - 3*s1^2*s2^2 - 24*s1*s2*s3 + 8*s2^3 + 16*s3^2)
    Par ailleurs, j'ai aussi cherché le lieu des points $N$ tels que les trois droites d'Euler soient concourantes.
    On trouve encore la réunion de $\Gamma$ et d'une quartique.

    Cordialement,

    Rescassol109066
    109068
  • poulbot
    poulbot
    Bonsoir Rescassol
    et merci.
    J'avais vérifié ce truc à l'aide de calculs imbuvables sur PC mais j'avais au préalable fait une figure qui s'est avérée très encourageante.
    Ce qui m'étonne, c'est que ce Mr Seiichi Kirikami ait eu l'idée de ce résultat dans le cas du cercle de Bevan sans envisager qu'en fait c'était vrai pour un cercle quelconque, ce qui me semble être la première chose à examiner.
    Au fait, comment rejoindre cette liste Euclid?
    Cela mis à part, je vais plutôt bien.
    Bien cordialement. Poulbot
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour Poulbot,

    >Au fait, comment rejoindre cette liste Euclid?

    Je t'ai envoyé les références par MP hier.

    Cordialement,

    Rescassol
  • poulbot
    poulbot
    OK! Merci beaucoup!
    Bien cordialement. Poulbot
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Un autre cas particulier, le cercle circonscrit lui-même.
    L'isogonal de $O$ est l'orthocentre $H$ et les droites d'Euler des triangles $HBC,HCA,HAB$ sont concourantes en $\omega$ milieu de $[OH]$ et centre du cercle d'Euler.
    La quadrique dégénère en une cubique qui n'est autre que la cubique de Neuberg. Son équation complexe avec Morley circonscrit est:
    $s_2z^2\overline{z} - s_1s_3z\overline{z}^2 - s_1z^2 + s_2s_3\overline{z}^2 + (s_1^2 - 2s_2)z + (2s_1s_3 - s_2^2)\overline{z} = 0$

    Cordialement,

    Rescassol109100
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Le cas particulier jumeau du précédent, avec $M=H$ et donc $N=O$.
    Le cercle rouge est de centre $H$ et de rayon quelconque.
    La quartique passe alors par $A,B,C$.

    Cordialement,

    Rescassol109248
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Dans le cas d'un cercle de centre $O$, avec $R$ quelconque, on obtient une cubique du faisceau engendré par la cubique de Neuberg et la droite d'Euler de $ABC$.

    Cordialement,

    Rescassol
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