Même centre de gravité

Bonjour,

Si le cercle est le cercle unitaire, il faut et il suffit que $a_1+b_1+c_1=a_2+b_2+c_2$ avec des notations évidentes.
Ou encore $\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{C_1C_2}=\overrightarrow{0}$.

Cordialement,

Rescassol

J'aurais tendance à dire que l'un est l'image de l'autre par une rotation de centre celui du cercle ou par une symétrie d'axe un des diamètres du cercle.

Bonjour à tous,
Si G et O sont communs, alors l'orthocentre H et le centre E du cercle des neuf points le sont aussi puisque ces deux points se trouvent sur la droite d'Euler et que OH = 3OG = 2OE.
Ci-joint une figure où j'ai ajusté (à la souris, bien évidemment) les sommets du triangle rouge sur le cercle circonscrit commun de façon à amener le centre de gravité et l'orthocentre de ce triangle sur ceux du triangle noir.
Je pense que cette solution, qui apparemment est un triangle isocèle dont l'axe est la droite d'Euler du triangle de base, n'est probablement pas la seule ... ou alors, c'est que j'ai une sacrée chance ou un bon flair !
Bon dimanche, bien cordialement
JLB

Je pense que Yann a en tête un point définissant deux parallélogrammes à partir des sommets des deux triangles (qu'ils soient circonscrits à un même cercle ou pas). Et la relation vectorielle de Rescassol n'est pas étrangère à ça, si j'en crois un exercice du Lebossé-Hemery.

Mon cher Yann
La réponse de Rescassol est plus subtile.
Elle est de nature affine et concerne toutes les paires de triangles ayant même centre de gravité!
Quant à la nouvelle configuration que tu nous proposes, elle aussi n’a rien à voir avec la géométrie euclidienne!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonne nuit Yann,
Merci de m'avoir fait découvrir, avec Pappus, cette figure que je trouve assez captivante, où l'on voit 6 alignements de quatre points chacun : les trois points symétriques d'un sommet de l'un des triangles par rapport aux trois côtés de l'autre, plus l'orthocentre commun ...
Je ne sais si c'est bien cela que tu attendais en réponse à la question de ton dernier message ... mais moi, rien que cela, ça me ravit ! Encore merci !
Maintenant, pour moi, le plus dur reste à faire : comprendre le pourquoi et le comment de ce surprenant phénomène !
Bien cordialement
JLB
PS : il manque "sommets des deux" dans ta question ...

Mon cher Yann,
Tu vois comme ma culture géométrique est lacunaire ! C'est que je n'ai pas encore, concernant la géométrie du triangle, assimilé toutes les pépites du livre des Sortais (que je me suis procuré il y a deux ans, mais que je n'ai pas sous la main en ce moment), et notamment cette droite de Simson ! Maintenant que tu me le rappelles, cela me saute aux yeux !
Mais s'il te plaît, ôte-moi d'un doute : les neuf points auxquels tu fais allusion dans ton dernier message, ce sont bien les trois triplets de points symétriques des sommets de l'un des triangles par rapport aux côtés de l'autre, n'est-ce pas ?
Bien cordialement
JLB

Merci, Yann !
Mais où vais-je, si ma lecture devient aussi lacunaire que ma culture ?
Dans les choux !
Je vais reprendre par le bon bout ...
JLB

Bonsoir Yann,
Voilà la figure que j'obtiens en prenant les 3x3 symétriques des sommets du triangle rouge par rapport aux milieux des côtés du triangle noir ... une série de six cercles, passant tous par l'orthocentre commun des triangles rouge et noir, dont trois passent chacun par les trois points symétriques d'un même sommet et par deux sommets du triangle rouge, les trois autres cercles passant par un point symétrique de chacun des trois sommets et par deux sommets du triangle noir.
En outre, ces six cercles ont le même rayon, égal au rayon du cercle circonscrit commun aux triangles rouge et noir, et les six centres de ces cercles se trouvent sur un septième, de centre l'orthocentre commun et toujours de même rayon ...
Bien sûr, je ne t'apprends rien, mais moi, je découvre, et je te remercie de me le permettre !
Bien amicalement
JLB