Un exercice difficile de 4ème

Bonjour à tous
Voici la réponse à la dernière question de Yann!
Sur ma figure $M$ est le milieu de $PQ$ et $\Phi$ le milieu de $\Omega M$.
$\gamma$ est la conique passant par les points $P$, $Q$, $\Phi$, tangente en $\Omega$ à la droite $RS$.
Le lieu du point de Lemoine $K$ du triangle $\Omega AB$ est l'arc rouge $\stackrel{\curvearrowright}{P\Phi Q}$ de cette conique.
C'est d'autant plus passionnant qu'on est pas prêt d'en voir une solution synthétique ou non avant le prochain millénaire!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

est-ce vraiment un exercice de 4ème ?

Bien cordialement.
kolotoko

Rebonsoir, je m'excuse si mes messages étaient tordu (je ne sais) j'allais m'expliquer en tout cas. Alors je rejoint la configuration de Yan sur la figure le triangle initiale $\Omega A=b$, $AP=a$ et $\Omega P=c$. La simplification que vous voyez dans le code maple est étonnante vu les variables et les expressions compliquées.

À noter que $h$ et $c$ sont fixes ($H_1P $ aussi) dés le début. Alors avec les notations de la figure jointe. Égalité des aires donne $H(a+y)=2ha+hy$ qu'on eleve au carré vu que $h$ et $H$ sont des hauteurs, on trouve deux valeurs $y$ vous remarquez que si $b<a$ une d'eux est négative et si $b>a$ l'autre l'est donc en tout cas on a notre $y$. ($b=a$ pas de point $B$) et suivra donc la valeur de $x$.

Aprés tous ce fait formellement. J'ai donné à maple un exemple $h=3$ etc ce qui donne aprés prise de repère une parametrisation de centre du cercle circonscrit. Notez que $b$ s'exprime en fonction de $a$ et les paramètres fixes. Bon j'ai aussi dessiner la droite il ne reste plus que trouver sa pente et l'ordonné à l'origine.
(pour être sûr $z$ est limité à ce que $\Omega AP$ soit un triangle aigu)

Merci.

Salut, à direct je ne sais pas la définition du point de Lemoine. Mais le jeu ici est que je vous (Maple) donne les côtés du triangle $\Omega AB$ en fonction de $a,b,c$ donc comme j'ai fait dans l'exemple du pdf ça coupe les choses parceque au moins aprés la donnée d'un repère au saura les coordonnées de n'importe quel point (même si se sont des monstres).

Dans mon exemple j'explique quelque chose j'ai obtenu comme je disais les côtés mais ce n'est pas fini: les cas sont $b<a$ et $b>a$ ici j'ai consideré $b<a$ puisque $A$ à gauche de $H_1$ voir figure et ce n'est pas terminé aussi l'exemple que j'ai donné se limite à ce que $\Omega AB$ soit non obtus parce que la démarche d'égalité des aires change.

Ce qui explique les trajectoires en deux parties des points.
($b=a$ est un indéfini)
Sauf le centre du cercle circonscit qui parait tout une droite.

Donc on verra un résumé j'espère aprés.


Cordialement.

Oui évidemment mais peut être plus directe les centre de gravité du cercle inscrit l'orthocentre ?
Cordialement

Edit c'est hors porté le point de Lemoine...