Une perpendiculaire à une médiane
dans Géométrie
Bonjour,
1. ABC un triangle acutangle
2. DEF le triangle orthique
3. P le point d’intersection de (AD) et (EF)
4. (O) le cercle circonscrit à ABC
5. Y, Z les cirumtraces de (BP), (CP)
6. Q le point d’intersection de (YZ) et (BC)
7. M le milieu de [BC].
Question : (PQ) est perpendiculaire à (AM).
Sincèrement.
Jean-Louis.
[Contenu du fichier pdf joint. AD]
1. ABC un triangle acutangle
2. DEF le triangle orthique
3. P le point d’intersection de (AD) et (EF)
4. (O) le cercle circonscrit à ABC
5. Y, Z les cirumtraces de (BP), (CP)
6. Q le point d’intersection de (YZ) et (BC)
7. M le milieu de [BC].
Question : (PQ) est perpendiculaire à (AM).
Sincèrement.
Jean-Louis.
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Réponses
-
Bonjour à tous,
J'utilise les coordonnées barycentriques.
Le triangle de référence $ABC$ :
$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
$DEF$ le triangle orthique :
$D\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\end{array}\right]
\ ,\quad
E\simeq \left[\begin{array}{c}a^2 + b^2 - c^2\\ 0\\ -a^2 + b^2 + c^2\end{array}\right]
\ ,\quad
F\simeq \left[\begin{array}{c} a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 + c^2\\ 0\end{array}\right]$
P le point d’intersection de (AD) et (EF) :
$P\simeq \left[\begin{array}{c} 2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right]$
(O) le cercle circonscrit à ABC :
$c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z=0.$
Y, Z les cirumtraces de (BP), (CP) :
$Y, Z\simeq \left[\begin{array}{c} 2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\ 2 b^2 (a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -2 (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ (a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ -2 c^2 (a^2 - b^2 + c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)\end{array}\right]$
Q le point d’intersection de (YZ) et (BC) :
$Q \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -(a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\end{array}\right]$
M le milieu de [BC] :
$M\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\1\\ 1\end{array}\right]$
Montrons que (PQ) est perpendiculaire à (AM).
$(PQ) \simeq \left[\begin{array}{c} (a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) (a^2 - b^2 - c^2) \\ (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\ (a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\end{array}\right]=U$
$(AM) \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1\end{array}\right]=V$
On a
$U^{t} \times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times V=0$
Ainsi $(PQ)$ est perpendiculaire à $(AM).$
Amicalement -
Bonjour,
Avec Morley circonscrit:% Jean-Louis Ayme - 10/09/2020 - Une perpendiculaire à une médiane clc, clear all, close all syms a b c; syms aB bB cB; % Conjugués aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c; syms s1 s2 s3; syms s1B s2B s3B; % Conjugués s1=a+b+c; s2=a*b+b*c+c*a; s3=a*b*c; s1B=s2/s3; s2B=s1/s3; s3B=1/s3; %----------------------------------------------------------------------- d=(s1*a-b*c)/(2*a); % Triangle orthique de ABC e=(s1*b-c*a)/(2*b); f=(s1*c-a*b)/(2*c); dB=(s1B*aB-bB*cB)/(2*aB); % Conjugués eB=(s1B*bB-cB*aB)/(2*bB); fB=(s1B*cB-aB*bB)/(2*cB); [pef qef ref]=DroiteDeuxPoints(e,f,eB,fB); % Droite (EF) [p pB]=IntersectionDeuxDroites(pef,qef,ref,a,-s3,b*c-a^2); % Point P p=Factor(p) % On trouve p = (2*a^3 + (b+c)*a^2 - (b^2+c^2)*a + b*c*(b+c))/(2*(a^2+b*c)); [pbp qbp rbp]=DroiteDeuxPoints(b,p,bB,pB); % Droite (BP) syms y % Point Y yB=1/y; Nuly=Factor(pbp*y+qbp*yB+rbp); % On trouve (a*c - a*b + 2*b*c)*y - 2*a^2*c + a*c^2 - b*a*c = 0 d'où Y: y=a*c*(2*a+b-c)/(a*c-a*b+2*b*c); yB=aB*cB*(2*aB+bB-cB)/(aB*cB-aB*bB+2*bB*cB); % De même pour le point Z: z=a*b*(2*a+c-b)/(a*b-a*c+2*c*b); zB=aB*bB*(2*aB+cB-bB)/(aB*bB-aB*cB+2*cB*bB); [pyz qyz ryz]=DroiteDeuxPoints(y,z,yB,zB); % Droite (YZ) [q qB]=IntersectionDeuxDroites(pyz,qyz,ryz,1,b*c,-b-c); % Point Q q=Factor(q) % On trouve q=a*(-2*(b+c)*a^3 - (b-c)^2*a^2 + (b+c)*(b^2+c^2)*a - b*c*(b-c)^2)/(2*(b^2*c^2-a^4)) m=(b+c)/2; % Milieu M de [BC] mB=(bB+cB)/2; AM=m-a; % Vecteur AM AMB=mB-aB; PQ=q-p; % Vecteur PQ PQB=qB-pB; Nul=Factor(AM*PQB+AMB*PQ) % Égal à 0, donc ces deux vecteurs sont orthogonaux.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Orthique encyclopedie 10.pdf p. 29...
Sincèrement
Jean-Louis
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Bonjour!
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