Une perpendiculaire à une médiane

Jean-Louis Ayme · September 2020

Bonjour,

1. ABC un triangle acutangle
2. DEF le triangle orthique
3. P le point d’intersection de (AD) et (EF)
4. (O) le cercle circonscrit à ABC
5. Y, Z les cirumtraces de (BP), (CP)
6. Q le point d’intersection de (YZ) et (BC)
7. M le milieu de [BC].

Question : (PQ) est perpendiculaire à (AM).

Sincèrement.
Jean-Louis.

[Contenu du fichier pdf joint. AD] 109160

Bouzar · September 2020

Bonjour à tous,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

Le triangle de référence $ABC$ :

$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

$DEF$ le triangle orthique :

$D\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\end{array}\right]
\ ,\quad
E\simeq \left[\begin{array}{c}a^2 + b^2 - c^2\\ 0\\ -a^2 + b^2 + c^2\end{array}\right]
\ ,\quad
F\simeq \left[\begin{array}{c} a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 + c^2\\ 0\end{array}\right]$

P le point d’intersection de (AD) et (EF) :

$P\simeq \left[\begin{array}{c} 2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right]$

(O) le cercle circonscrit à ABC :

$c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z=0.$

Y, Z les cirumtraces de (BP), (CP) :

$Y, Z\simeq \left[\begin{array}{c} 2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\ 2 b^2 (a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -2 (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ (a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ -2 c^2 (a^2 - b^2 + c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)\end{array}\right]$

Q le point d’intersection de (YZ) et (BC) :

$Q \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -(a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\end{array}\right]$

M le milieu de [BC] :

$M\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\1\\ 1\end{array}\right]$

Montrons que (PQ) est perpendiculaire à (AM).

$(PQ) \simeq \left[\begin{array}{c} (a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) (a^2 - b^2 - c^2) \\ (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\ (a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\end{array}\right]=U$

$(AM) \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1\end{array}\right]=V$

On a

$U^{t} \times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times V=0$

Ainsi $(PQ)$ est perpendiculaire à $(AM).$

Amicalement

Rescassol · September 2020

Bonjour,

Avec Morley circonscrit:

% Jean-Louis Ayme - 10/09/2020 - Une perpendiculaire à une médiane

clc, clear all, close all

syms a b c;
syms aB bB cB; % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

d=(s1*a-b*c)/(2*a);  % Triangle orthique de ABC
e=(s1*b-c*a)/(2*b);
f=(s1*c-a*b)/(2*c);

dB=(s1B*aB-bB*cB)/(2*aB);  % Conjugués
eB=(s1B*bB-cB*aB)/(2*bB);
fB=(s1B*cB-aB*bB)/(2*cB);

[pef qef ref]=DroiteDeuxPoints(e,f,eB,fB); % Droite (EF)

[p pB]=IntersectionDeuxDroites(pef,qef,ref,a,-s3,b*c-a^2); % Point P

p=Factor(p)

% On trouve p = (2*a^3 + (b+c)*a^2 - (b^2+c^2)*a + b*c*(b+c))/(2*(a^2+b*c));

[pbp qbp rbp]=DroiteDeuxPoints(b,p,bB,pB); % Droite (BP)

syms y   % Point Y

yB=1/y;

Nuly=Factor(pbp*y+qbp*yB+rbp);

% On trouve (a*c - a*b + 2*b*c)*y - 2*a^2*c + a*c^2 - b*a*c = 0 d'où Y:

y=a*c*(2*a+b-c)/(a*c-a*b+2*b*c);
yB=aB*cB*(2*aB+bB-cB)/(aB*cB-aB*bB+2*bB*cB);

% De même pour le point Z:

z=a*b*(2*a+c-b)/(a*b-a*c+2*c*b);
zB=aB*bB*(2*aB+cB-bB)/(aB*bB-aB*cB+2*cB*bB);

[pyz qyz ryz]=DroiteDeuxPoints(y,z,yB,zB); % Droite (YZ)

[q qB]=IntersectionDeuxDroites(pyz,qyz,ryz,1,b*c,-b-c); % Point Q

q=Factor(q)

% On trouve q=a*(-2*(b+c)*a^3 - (b-c)^2*a^2 + (b+c)*(b^2+c^2)*a - b*c*(b-c)^2)/(2*(b^2*c^2-a^4))

m=(b+c)/2;   % Milieu M de [BC]
mB=(bB+cB)/2;

AM=m-a;   % Vecteur AM
AMB=mB-aB;

PQ=q-p;   % Vecteur PQ
PQB=qB-pB;

Nul=Factor(AM*PQB+AMB*PQ) % Égal à 0, donc ces deux vecteurs sont orthogonaux.

Cordialement,

Rescassol

Jean-Louis Ayme · October 2020

Bonjour,

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Orthique encyclopedie 10.pdf p. 29...

Sincèrement
Jean-Louis

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