Calcul d'un angle dans le plan
Bonjour à tous,
Je voulais vous présenter un petit problème de géométrie sur lequel je suis depuis quelque temps
Prenons un point $S$, et traçons un cercle $O_J$ de rayon $J$ (la valeur est connue). Plaçons sur ce cercle 2 points, $J_0$ et $J_1$ tel que l'angle $\widehat{J_0SJ_1}$ soit égal à une valeur $\delta$. $J_1$ se trouve toujours " après " $J_0$ dans le sens anti-horaire sur le cercle $O_J$
Du même point $S$, traçons un nouveau cercle $O_T$ de rayon $T$ (valeur connue). Comme précédemment, plaçons 2 points $T_0$ et $T_1$ sur $O_T$, tel que $\widehat{T_0ST_1}$ soit égal à une valeur $\gamma$. De même, $T_0$ se trouve toujours " après " $T_1$ sur le cercle $O_T$ (dans le sens anti-horaire)
Posons la tangente $h$ au cercle $O_T$ passant par $T_1$, et un point $A$ sur cette droite, n'importe où dans la direction opposée à $J_1$
L'objectif est de trouver la valeur d'$\alpha$, l'angle $\widehat{J_1T_1A}$
Pour rappel, les informations connues sont
Et une image pour rendre le tout plus visuel
Contexte
Ce problème est la 1ère partie d'un problème plus grand où j'essaye de déterminer combien de temps une planète reste visible dans le ciel d'une autre, et combien de temps faut-il attendre avant qu'elle le redevienne
L'angle $\alpha$ est l'angle formé entre la planète observée, la planète depuis laquelle on observe, et un point sur la ligne d'horizon de cette dernière (définie par simplification comme la tangente à la planète qui observe). Si l'angle est inférieur à 180° ou $2\pi$, la planète est visible dans le ciel, sinon, elle ne l'est pas
Les angles $\delta$ et $\gamma$ sont en fait la mesure de la rotation de la planète autour du Soleil en 1 journée (définie par la période de révolution de la planète divisée par 360° ou $4\pi$)
Du calcul pour déterminer $\alpha$, je vais pouvoir extraire une formule permettant de mesurer l'évolution de l'angle entre les 2 planètes au fil des jours
----
J'ai déjà essayé de résoudre le problème par moi-même, et j'ai réussi à aboutir à une formule pour calculer cet angle. Mais n'étant pas dans le secteur des maths (j'ai fait un Bac S, et même si j'étais bon en maths (et que j'aime les maths), c'était il y a 7 ans, et je ne pratique pas régulièrement), je préfère demander, afin de m'assurer que mon résultat soit bien valide avant de passer à la suite
Veuillez m'excuser si le nom du sujet n'est pas le plus représentatif, je n'ai pas réussi à trouver mieux
J'espère que les explications étaient claires
Merci par avance de vos réponses,
Cordialement,
Méta
Je voulais vous présenter un petit problème de géométrie sur lequel je suis depuis quelque temps
Prenons un point $S$, et traçons un cercle $O_J$ de rayon $J$ (la valeur est connue). Plaçons sur ce cercle 2 points, $J_0$ et $J_1$ tel que l'angle $\widehat{J_0SJ_1}$ soit égal à une valeur $\delta$. $J_1$ se trouve toujours " après " $J_0$ dans le sens anti-horaire sur le cercle $O_J$
Du même point $S$, traçons un nouveau cercle $O_T$ de rayon $T$ (valeur connue). Comme précédemment, plaçons 2 points $T_0$ et $T_1$ sur $O_T$, tel que $\widehat{T_0ST_1}$ soit égal à une valeur $\gamma$. De même, $T_0$ se trouve toujours " après " $T_1$ sur le cercle $O_T$ (dans le sens anti-horaire)
Posons la tangente $h$ au cercle $O_T$ passant par $T_1$, et un point $A$ sur cette droite, n'importe où dans la direction opposée à $J_1$
L'objectif est de trouver la valeur d'$\alpha$, l'angle $\widehat{J_1T_1A}$
Pour rappel, les informations connues sont
- la longueur $J$
- la longueur $T$
- l'angle $\widehat{J_0SJ_1}$, $\delta$
- l'angle $\widehat{T_0ST_1}$, $\gamma$
Et une image pour rendre le tout plus visuel
Contexte
Ce problème est la 1ère partie d'un problème plus grand où j'essaye de déterminer combien de temps une planète reste visible dans le ciel d'une autre, et combien de temps faut-il attendre avant qu'elle le redevienne
L'angle $\alpha$ est l'angle formé entre la planète observée, la planète depuis laquelle on observe, et un point sur la ligne d'horizon de cette dernière (définie par simplification comme la tangente à la planète qui observe). Si l'angle est inférieur à 180° ou $2\pi$, la planète est visible dans le ciel, sinon, elle ne l'est pas
Les angles $\delta$ et $\gamma$ sont en fait la mesure de la rotation de la planète autour du Soleil en 1 journée (définie par la période de révolution de la planète divisée par 360° ou $4\pi$)
Du calcul pour déterminer $\alpha$, je vais pouvoir extraire une formule permettant de mesurer l'évolution de l'angle entre les 2 planètes au fil des jours
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J'ai déjà essayé de résoudre le problème par moi-même, et j'ai réussi à aboutir à une formule pour calculer cet angle. Mais n'étant pas dans le secteur des maths (j'ai fait un Bac S, et même si j'étais bon en maths (et que j'aime les maths), c'était il y a 7 ans, et je ne pratique pas régulièrement), je préfère demander, afin de m'assurer que mon résultat soit bien valide avant de passer à la suite
Veuillez m'excuser si le nom du sujet n'est pas le plus représentatif, je n'ai pas réussi à trouver mieux
J'espère que les explications étaient claires
Merci par avance de vos réponses,
Cordialement,
Méta
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Réponses
Cordialement
J'espère que tu es conscient de ce que ton calcul, en l'état, ne peut être qu'approximatif, puisque les trajectoires des planètes ne sont pas circulaires, mais elliptiques, ce que l'on sait depuis Képler !
Mais je reconnais que c'est déjà un bon début, ou un "nice try" !
Bon courage ! bien cordialement
JLB
Bon par contre, ma formule finale semble différente de la votre, j'ai bien fait de demander.
J'ai un peu de mal à comprendre comment cela fonctionne cependant. Tout est clair, sauf la dernière étape. $\alpha$ est exprimé en fonction d'$\epsilon$, mais le calcul pour trouver $\epsilon$ fait également intervenir $\alpha$. Le serpent se mord la queue, et je ne vois pas comment m'en sortir.
Pourriez-vous m'expliquer ça plus en détails ?
jelobreuil écrivait : [message précédent]
> J'espère que tu es conscient de ce que ton calcul, en l'état, ne peut être qu'approximatif,
> puisque les trajectoires des planètes ne sont pas circulaires
Bien sûr, je sais que le calcul ne peut pas être précis, de nombreux paramètres sont à prendre en compte (s'il n'y avait que la trajectoire elliptique, pourquoi pas, ça ne me semble pas le plus difficile à rajouter, mais il y a aussi les autres paramètres de Milankovic qui influent sur la trajectoire des planètes)
Comme dit, c'est une approximation de la réalité, qui est suffisante sur de courtes échelles de temps (je pense que ça peut au moins être valide pour quelques années), et il est facile de remettre la marge d'erreur à zéro en effectuant un nouveau calcul au moment où les deux planètes ont un angle entre elles qui soit remarquable.
L'angle $\epsilon$ est l'angle ST1J1 et comme AB est orthogonal à ST1 , on a bien $\alpha$ + $\epsilon$ = 270°
Merci beaucoup de votre réponse