Deux parallèles
dans Géométrie
Bonjour,
1. ABC un triangle acutangle
2. H l’orthocentre
3. DEF le triangle orthique
4. P le point d’intersection de (AD) et (EF)
5. (O) le cercle circonscrit à ABC
6. Y, Z les cirumtraces de (BP), (CP)
7. Q, S les points d’intersection de (BC) resp. avec (YZ), (EF)
8. A* le milieu de [AH].
Question : (AQ) est parallèle à (A*S).
Sincèrement.
Jean-Louis.
[Contenu du fichier pdf joint. AD]
1. ABC un triangle acutangle
2. H l’orthocentre
3. DEF le triangle orthique
4. P le point d’intersection de (AD) et (EF)
5. (O) le cercle circonscrit à ABC
6. Y, Z les cirumtraces de (BP), (CP)
7. Q, S les points d’intersection de (BC) resp. avec (YZ), (EF)
8. A* le milieu de [AH].
Question : (AQ) est parallèle à (A*S).
Sincèrement.
Jean-Louis.
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Réponses
Comme je l'ai souvent dit, placer un problème dans son cadre géométrique naturel, c'est déjà le résoudre à moitié!
Et le cadre de ton énigme, c'est l'agonisante géomérie affine c'est à dire le royaume de l'axiome de Thalès.
On peut donc oublier la géométrie euclidienne et son axiome de Pythagore, oublier l'orthocentre et son triangle orthique et même oublier que les angles du triangle $ABC$ sont aigus.
Voilà comment je formule ta petite énigme.
On travaille dans le plan affine sur un corps de caractéristique différente de $2$, par exemple le corps des réels pour ne traumatiser personne.
On se donne dans ce plan un triangle $ABC$ et un point $H$ quelconque.
Le triangle $DEF$ est le triangle cévien de $H$ par rapport au triangle $ABC$.
Le triangle $D'E'F'$ est l'homothétique du triangle $DEF$ dans l'homothétie de centre $H$ et de rapport $2$.
1° Montrer que les six points $A$, $B$, $C$, $D'$, $E'$, $F'$ sont sur une même conique $\Gamma$.
J'ai choisi le point $H$ pour que $\Gamma$ soit une ellipse mais elle pourrait très bien être une hyperbole mais je ne sais trop pourquoi on préfère contempler une ellipse qu'une hyperbole. Peut-être sont-elles plus apaisantes?
2° Soit $P=AH\cap EF$.
Les droites $BP$ et $CP$ recoupent $\Gamma$ respectivement en $Y$ et $Z$.
Soit $Q=BC\cap YZ$ et $S=BC\cap EF$.
Soit $A_*$ le milieu de $HP$.
Montrer que les droites $AQ$ et $A_*S$ sont parallèles.
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'utilise les coordonnées barycentriques.
Le triangle de référence :
$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
H l’orthocentre :
$H\simeq \left[\begin{array}{c} S_B S_C\\ S_C S_A\\ S_A S_B\end{array}\right]$
DEF le triangle orthique :
$D\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\end{array}\right]$
$E\simeq \left[\begin{array}{c}a^2 + b^2 - c^2\\ 0\\ -a^2 + b^2 + c^2\end{array}\right]$
$F\simeq \left[\begin{array}{c} a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 + c^2\\ 0\end{array}\right]$
P le point d’intersection de (AD) et (EF) :
$P\simeq \left[\begin{array}{c} 2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right]$
(O) le cercle circonscrit à ABC :
$c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z=0.$
Y, Z les cirumtraces de (BP), (CP) :
$Y, Z\simeq \left[\begin{array}{c} 2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\ 2 b^2 (a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -2 (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ (a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ -2 c^2 (a^2 - b^2 + c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)\end{array}\right]$
Q, S les points d’intersection de (BC) resp. avec (YZ), (EF) :
$Q, S \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -(a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ a^2 - b^2 + c^2\end{array}\right]$
A* le milieu de [AH] :
$A^{*} \simeq \left[\begin{array}{c} -2 (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)\\ -a^4 + b^4 + 2 a^2 c^2 - c^4\\ -a^4 + 2 a^2 b^2 - b^4 + c^4\end{array}\right]$
Montrons que $(AQ)$ est parallèle à $(A*S)$.
$(AQ) \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -(a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\ -(a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\end{array}\right]$
$(A*S) \simeq \left[\begin{array}{c} -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\\ -(-a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 b^2 + b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4)\\ (a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 b^2 + b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4)\end{array}\right]$
Le déterminant $\scriptsize \left|
\begin{array}
0 & -(a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)&-(a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\
-(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)&-(-a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 b^2 + b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4)& (a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 b^2 + b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4)\\
1&1&1
\end{array}
\right|$
est nul.
$(AQ)$ est parallèle à $(A^{*}S)$.
Amicalement
Tu aurais pu faire un calcul analogue du même ordre de difficulté sur la généralisation affine que j'ai proposée.
Le seul os est l'écriture (très simple) de l'équation de la conique en fonction des coordonnées barycentriques $(u:v:w)$ du point $H$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'utilise les coordonnées barycentriques pour la généralisation affine.
Le triangle de référence :
$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\
0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\
0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\
1\end{array}\right]$
Le point H:
$H\simeq \left[\begin{array}{c} u\\ v\\ w\end{array}\right]$
DEF est le triangle cévien de H par rapport au triangle ABC :
$D\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\v\\ w\end{array}\right]
\ , \qquad
E\simeq \left[\begin{array}{c}u\\ 0\\ w\end{array}\right]
\ , \qquad
F\simeq \left[\begin{array}{c} u\\ v\\ 0\end{array}\right]$
$D'E'F'$ est l'homothétique du triangle DEF dans l'homothétie de centre H et de rapport 2:
$D'\simeq \left[\begin{array}{c} -u (v + w)\\v (2 u + v + w)\\ w (2 u + v + w)\end{array}\right]
\ , \qquad
E'\simeq \left[\begin{array}{c}u (u + 2 v + w)\\ -v (u + w)\\ w (u + 2 v + w)\end{array}\right]
\ , \qquad
F'\simeq \left[\begin{array}{c} u (u + v + 2 w)\\ v (u + v + 2 w)\\ -(u + v) w\end{array}\right]$
Les six points $A, B, C, D', E', F'$ sont sur une même conique $\Gamma$ :
$(u w + v w) x y + (u v + v w) x z + (u v + u w) y z=0.$
P le point d’intersection de (AH) et (EF) :
$P\simeq \left[\begin{array}{c} -2 u\\ -v\\-w\end{array}\right]$
Les droites BP et CP recoupent $\Gamma$ respectivement en Y et Z :
$Y, Z\simeq \left[\begin{array}{c}-2 u (2 u + 3 v + w)\\ 2 v (u + w)\\ -w (2 u + 3 v + w)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -2 u (2 u + v + 3 w)\\ -v (2 u + v + 3 w)\\ 2 (u + v) w\end{array}\right]$
Q, S les points d’intersection de (BC) resp. avec (YZ), (EF) :
$Q, S \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\v (2 u + v + 3 w)\\ -w (2 u + 3 v + w)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\
v\\ -w\end{array}\right]$
A* le milieu de [AH] :
$A^{*} \simeq \left[\begin{array}{c} 2 u + v + w\\ v\\ w\end{array}\right]$
Montrons que $(AQ)$ est parallèle à $(A*S)$.
$(AQ) \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ w (2 u + 3 v + w)\\ v (2 u + v + 3 w)\end{array}\right]
\ , \qquad
(A*S) \simeq \left[\begin{array}{c}-2 v w\\w (2 u + v + w)\\ v (2 u + v + w)\end{array}\right]$
Le déterminant $\left|
\begin{array}{ccc}
0 & w (2 u + 3 v + w)&v (2 u + v + 3 w)\\
-2 v w&w (2 u + v + w)& v (2 u + v + w)\\
1&1&1
\end{array}
\right|\quad $ est nul.
$(AQ)$ est parallèle à $(A^{*}S)$.
Amicalement
Les calculs sont sensiblement plus simples!
Amicalement
[small]p[/small]appus
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Orthique encyclopedie 10.pdf p. 27...
Sincèrement
Jean-Louis