Une suite au problème de Quentin

Bonsoir jean-Louis,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

ABC un triangle :

$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

(O) le cercle circonscrit :

$c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z=0.$

DEF le triangle orthique :

$D\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\end{array}\right]

\ ,\quad

E\simeq \left[\begin{array}{c}a^2 + b^2 - c^2\\ 0\\ -a^2 + b^2 + c^2\end{array}\right]

\ ,\quad

F\simeq \left[\begin{array}{c} a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 + c^2\\ 0\end{array}\right]$

P le point d'intersection de (AD) et (EF) :

$P\simeq \left[\begin{array}{c} 2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right]$

Y, Z les seconds points d'intersection de (O) resp. avec (BP), (CP) :

$Y, Z\simeq \left[\begin{array}{c} 2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\ 2 b^2 (a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -2 (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ (a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ -2 c^2 (a^2 - b^2 + c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)\end{array}\right]$

X le point d’intersection de (YE) et (ZF) :

$X\simeq \left[\begin{array}{c} -a^2\\ 2 b^2\\ 2 c^2\end{array}\right]$

H l'orthocentre de ABC :

$H\simeq \left[\begin{array}{c} S_BS_C\\ S_CS_A\\ S_AS_B\end{array}\right]$

R le second point d’intersection de (O) avec (XH) :

$R\simeq \left[\begin{array}{c} -(a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 -
a^2 c^2 - 2 b^2 c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 +
2 c^4)\\ (b - c) (b + c) (a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)^2 (a^4 -
3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ -(b - c) (b + c) (-a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)^2 (-a^4 +
a^2 b^2 + 3 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - 2 c^4)\end{array}\right]$

K le symétrique de H par rapport à P :

$K\simeq \left[\begin{array}{c} -(a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) (2 a^4 - 3 a^2 b^2 + b^4 -
3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4)\\ a^2 (a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)^2\\ a^2 (a^2 - b^2 + c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)^2\end{array}\right]$

Montrons que <KRA est droit.

$(KR) \simeq \left[\begin{array}{c} 2 a^2 (b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)^2\\ (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\-(a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 -
a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\end{array}\right]=U$

$(AR) \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\(a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\ (a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\end{array}\right]=V$

On a

$U^{t} \times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times V=0$

Ainsi (KR) est perpendiculaire à (AR). Donc <KRA est droit.

Amicalement