Une identité

Bouzar · September 2020

Bonsoir,

Je propose l'exercice suivant.

Soit $ABC$ un triangle, $m_a, m_b, m_c$ les médianes, $A', B', C'$ les points où les médianes rencontrent le cercle circonscrit à $ABC.$
Montrer que $\dfrac{\mathcal{A}(A'B'C')}{\mathcal{A}(ABC)}=\dfrac{(m_a^2+m_b^2+m_c^2)^3 }{ 27m_a^2m_b^2m_c^2}.$

Amicalement

kolotoko · September 2020

Bonjour,

en coordonnées barycentriques:

soit P un point de cordonnées (x ; y ; z).

Les céviennes (AP), (BP), (CP) rencontre le cercle circonscrit en A', B', C'.

A' = (- a²yz ; b²yz + c²y² ; b²z² + c²zy )
B' = (c²x² + a²xz ; -b²zx ; c²zx + a²z² )
C' = (a²xy + b²x² ; a²y² + b²yx ; -c²xy )

Le déterminant des coordonnées de A', B', C' vaut D = (a²yz + b²zx + c²xy)³.
Les sommes des coordonnées de A', B', C' valent respectivement s_a, s_b, s_c .

Le rapport des aires A'B'C' / ABC = D / s_as_bs_c .

On trouve la formule indiquée en faisant x = y = z = 1 et en utilisant la formule de la médiane et le fait que la somme des carrés des médianes vaut 3(a² + b² + c² )/4 .

Bien cordialement.

kolotoko

zephir · September 2020

Bonjour,
Une suite à ce joli exercice : Le cercle circonscrit $(\Gamma)$ étant fixé quels sont le maximum et le minimum de ce rapport quand $B,C$ varient sur $(\Gamma)$ ?