Une formule pour l'aire d'un triangle
Bonsoir,
Démontrer que l'aire d'un triangle $ABC$ a pour expression :
$\mathcal{A}(ABC)=\dfrac{ (p-a)^2\sin(\hat{A}) + (p-b)^2\sin(\hat{B}) + (p-c)^2\sin(\hat{C}) }{ 2 \left( \sin^2 \left( \dfrac{\hat{A}}{2} \right) + \sin^2 \left( \dfrac{\hat{B}}{2} \right) + \sin^2 \left( \dfrac{\hat{C}}{2} \right) \right) }.$
Amicalement
Démontrer que l'aire d'un triangle $ABC$ a pour expression :
$\mathcal{A}(ABC)=\dfrac{ (p-a)^2\sin(\hat{A}) + (p-b)^2\sin(\hat{B}) + (p-c)^2\sin(\hat{C}) }{ 2 \left( \sin^2 \left( \dfrac{\hat{A}}{2} \right) + \sin^2 \left( \dfrac{\hat{B}}{2} \right) + \sin^2 \left( \dfrac{\hat{C}}{2} \right) \right) }.$
Amicalement
Réponses
-
Bonsoir Bouzar,
Est-il indiscret de te demander d'où sort cette "avalanche" d'exercices sur l'aire d'un triangle ? -
Bonsoir zephir,
De mes archives.
Amicalement -
Bonjour,
Je ressors cet exercice.
Amicalement -
Bonjour
Avec $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ (précision utile)
$\sin A=\dfrac{2S}{bc},...$, $2\sin ^{2}\dfrac{A}{2}=1-\cos A=1-\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\dfrac{2\left( p-b\right) \left( p-c\right) }{bc},...$
$\dfrac{\left( p-a\right) ^{2}}{bc}+\dfrac{\left( p-b\right) ^{2}}{ca}+\dfrac{\left( p-c\right) ^{2}}{ab}=\dfrac{\left( p-b\right) \left( p-c\right) }{bc}+\dfrac{\left( p-c\right) \left( p-a\right) }{ca}+\dfrac{\left( p-a\right) \left( p-b\right) }{ab}$
That's all folks!
Pas vraiment passionnant.
Amicalement. Poulbot -
Bonjour poulbot
Merci pour ta contribution.
Amicalement -
Merci Poulbot
Effectivement, tu n'as fait qu'une bouchée de cet exercice et il est difficile de faire plus court.
Je me demande si on peut le rendre plus passionnant en contemplant la figure ci-dessous tant il est vrai que je suis en ce moment obsédé par les aires à cause de PetitLutinMalicieux.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous
Sur ma figure, on lit :
$$\mathcal A(AB'C')=\dfrac 12(p-a)^2\sin(\widehat A).\qquad
$$ Au facteur $\frac 12$ près, c'est le début de l'identité de Bouzar !
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir à tous.
Le premier membre de l'identité de Bouzar vaut donc:
$$2S(A,B,C)-2S(A',B',C')$$
Et se pose le cauchemar du calcul de $S(A',B',C')$
Il y a quand même des choses plus intéressantes à faire en cette période de pandémie!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres