Invariance du birapport
dans Géométrie
Bonjour,
voici ma question :
1. A, B, C, D sont quatre points d’un cercle tels que (ABCD) = -1
2. H un point
3. A’, B’, C’, D’ les seconds points d’intersection de (HA), (HB), (HC), (HD) avec ce cercle.
A-t-on (A’B’C’D’) = -1. ? (je sais que lorsque H est sur le cercle, nous avons ce résultat)
Merci pour votre aide…
Sincèrement
Jean-Louis
voici ma question :
1. A, B, C, D sont quatre points d’un cercle tels que (ABCD) = -1
2. H un point
3. A’, B’, C’, D’ les seconds points d’intersection de (HA), (HB), (HC), (HD) avec ce cercle.
A-t-on (A’B’C’D’) = -1. ? (je sais que lorsque H est sur le cercle, nous avons ce résultat)
Merci pour votre aide…
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Bien sûr que c'est vrai et c'est un résultat de la théorie des transformations que tu n'aimes guère pourtant.
Cela peut se voir de plusieurs manières.
Par exemple si $s$ est l'inversion de pôle $H$ conservant le cercle, on sait qu'elle conserve aussi le birapport de quatre points du cercle, i.e:
$$(A,B,C,D) =(A',B',C',D').\qquad$$
et ce quelque soit la valeur du birapport.
En particulier, c'est vrai quand ce birapport vaut $-1$, (birapport harmonique)
Tout ceci est encore vrai quand on remplace le cercle par une conique, (involution de Frégier!).
Amicalement
[small]p[/small]appus
merci...
J'ai posé cette question pour résoudre le problème
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2090680
Amitiés
Jean-Louis
La réponse est oui. L'involution du cercle de point de Frégier $H$ conserve le birapport.
Si $H$ et $A$ sont sur le cercle, qu'entends-tu par second point d'intersection de $\left( HA\right) $ avec le cercle?
Je viens de voir que, comme il se doit, pappus, que je salue, avait déjà répondu.
Bien cordialement. Poulbot
merci pour votre réponse...
Je me suis mal exprimé en ce qui concerne votre remarque...en fait lorsque H bouge sur le cercle le birapport est inchangé...
Merci encore
Jean-Louis