Calcul d'aire
Bonjour à tous
On se donne un triangle $ABC$ et trois vecteurs $V_A$, $V_B$, $V_C$.
La droite $B'C'$ est la translatée de la droite $BC$ par le vecteur $V_A$.
La droite $C'A'$ est la translatée de la droite $CA$ par le vecteur $V_B$.
La droite $A'B'$ est la translatée de la droite $AB$ par le vecteur $V_C$.
Calculer l'aire du triangle $A'B'C'$ en fonction de l'aire du triangle $ABC$ et des vecteurs $V_A$, $V_B$, $V_C$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Hint:
C'est un exercice de géométrie affine !!!
On se donne un triangle $ABC$ et trois vecteurs $V_A$, $V_B$, $V_C$.
La droite $B'C'$ est la translatée de la droite $BC$ par le vecteur $V_A$.
La droite $C'A'$ est la translatée de la droite $CA$ par le vecteur $V_B$.
La droite $A'B'$ est la translatée de la droite $AB$ par le vecteur $V_C$.
Calculer l'aire du triangle $A'B'C'$ en fonction de l'aire du triangle $ABC$ et des vecteurs $V_A$, $V_B$, $V_C$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Hint:
C'est un exercice de géométrie affine !!!
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Réponses
Si tu nous mettais un dessin avec les droites côtés au lieu des segments côtés, avec les divers points d'intersection, on y verrait plus clair.
Sinon, on peut faire le calcul bourrin des coordonnées barycentriques de $A',B',C'$ mais ce n'est pas ce que tu souhaites ?
On peut utiliser le résultat suivant :
$\dfrac{\mathcal{A}(A', B',C')}{\mathcal{A}(A, B, C)} = \mathrm{Det}(\overrightarrow f)$ où $f$ est l'application affine définie par $f(A) = A'$, $f(B) = B'$, $f(C) = C'$.
On a remplacé un calcul d'aires par un calcul de déterminant.
Amicalement
La configuration finale que j'ai en tête est la suivante!
C'est celle là surtout qui m'intéresse!
Comme le dit notre ami Zephyr, il faut faire des calculs et donc mettre les mains dans le cambouis!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Une solution simple mais pas symétrique.
Avec $\overrightarrow{V_{A}}=x_{a}\overrightarrow{AB}+y_{a}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{V_{B}}=x_{b}\overrightarrow{AB}+y_{b}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{V_{C}}=x_{c}\overrightarrow{AB}+y_{c}\overrightarrow{AC}$,
on trouve facilement le rapport $k$ de l'homothétie $ABC\rightarrow A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$. $k=1+x_{a}+y_{a}-x_{b}-y_{c}$
Je m'accorde l'appréciation "Peut mieux faire"
Amicalement. Poulbot
On peut effectivement obtenir une formule plus symétrique en restant en coordonnées barycentriques mais ce n'est pas grave.
Par contre, je t'attends sur la deuxième figure où un rapport d'homothétie symétrique mais tout aussi simple est exigé!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Nos anciens auraient travaillé en coordonnées trilinéaires (i.e: distances algébriques aux côtés adéquates) car ils n'aimaient pas beaucoup les coordonnées barycentriques s'ils les connaissaient!
Cela leur permettait de repérer chacun des vecteurs $V_A$, $V_B$, $V_C$ par un seul paramètre signé!
Si $H_{a},\,H_{b},\,H_{c}$ sont les pieds des hauteurs de $ABC$ et $\overrightarrow{V_{A}}=k_{a}\overrightarrow{AH_{a}},\ \overrightarrow{V_{B}}=k_{b}\overrightarrow{BH_{b}},\ \overrightarrow{V_{C}}=k_{c}\overrightarrow{CH_{c}}$, le rapport d'homothétie est $1+k_{a}+k_{b}+k_{c}$.
Il y a probablement mieux mais, en ce qui me concerne, ce ne sera pas pour ce soir.
Amicalement. Poulbot
Bonne Nuit et fais de beaux rêves!
Ta formule est exacte et symétrique.
On peut la transformer légèrement en faisant intervenir les longueurs des côtés du triangle qui parlent plus à l'imagination que les longueurs de ses hauteurs!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le rapport d'homothétie de Poulbot s'écrit:
$$\lambda=1+\dfrac{a\overline{V_A}+b\overline{V_B}+c\overline{V_C}}{2S}.\qquad$$
où comme d'habitude $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ sont les longueurs des côtés du triangle $ABC$ et $S$ est l'aire du triangle $ABC$.
La notation $\overline{V_{\bullet}}$ désigne la mesure algébrique du vecteur $\overrightarrow{V_{\bullet}}$ comptée positivement quand ce vecteur est dirigé vers l'extérieur du triangle $ABC$ et négativement dans l'autre.
On a donc:
$$S(A',B',C')=\lambda^2S.\qquad$$
La condition nécessaire et suffisante pour que les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ se correspondent par translation est donc:
$$a\overline{V_A}+b\overline{V_B}+c\overline{V_C}=0.\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus