Intersection de trois cylindres

Bonjour,
Soient trois points A, B, C non alignés et les cylindres d'axe (AB) passant par C, d'axe (BC) passant par A, d'axe (CA) passant par B. On s'intéresse aux points communs aux trois cylindres. Pour des raisons algébriques, il y a au maximum 8 points communs puisque les équations des cylindres sont de degré 2.
Dans le plan (ABC) on voit facilement que les cylindres se rencontrent aux sommets A', B', C' du triangle antimédial de ABC et toute solution hors de ce plan aura son symétrique par rapport au même plan.

La difficulté consiste à montrer que les points communs situés dans le plan sont des solutions DOUBLES. Je distingue un argument de tangence : en un point de (ABC) commun aux cylindres, la droite normale au plan est tangente commune aux cylindres. Et alors ? Cela me fait penser au fait que l'intersection entre une droite et un cercle est une solution double lorsque la sécante est la tangente. Mais c'est juste une indication heuristique. Comment régler proprement cette affaire ? C'est ce que je demande.

Le but de la manoeuvre est, suivant une idée de Jean-Marc Lévy-Leblond, de démontrer que si les quatre faces d'un tétraèdre ont la même aire, elles sont isométriques. Théorème que l'on peut démontrer avec les outils du collège (à condition d'introduire la démonstration élémentaire réalisée par Legendre de l'existence et de l'unicité de la perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires de l'espace).

Ici il suffit de prouver que pour tout triangle acutangle il existe deux tétraèdres dont les faces sont isométriques à ce triangle (ce qui est facile algébriquement, moins si on veut une démonstration géométrique).. Ensuite, comme les points communs des trois cylindres, par construction sont sommets de tétraèdres dont les faces ont la même aire, comme 8 - 6 = 2 (on ne s'intéresse guère aux tétraèdres plats), l'affaire est dans le sac.
Amitiés à tous, JP