Droites sécantes sur une conique
Bonjour,
Je propose ce nouveau problème.
Soit $ \Gamma$ une conique circonscrite au triangle $ABC$. Un cercle passant par les points $ A$ and $ C$ intersecte les côtés $ BC$ et $ BA$ respectivement en $D$ et$ E$.
Les droites $ AD$ et $CE$ intersectent $ \Gamma$ une seconde fois respectivement en $G$ et $H$. Les tangentes à $ \Gamma$ en $A$ et $C$ intersectent la droite $DE$ respectivement en $L$ et $M$.
Montrer que les droites $LH$ et $MG$ sont sécantes en point qui appartient à $\Gamma$.
Amicalement
Je propose ce nouveau problème.
Soit $ \Gamma$ une conique circonscrite au triangle $ABC$. Un cercle passant par les points $ A$ and $ C$ intersecte les côtés $ BC$ et $ BA$ respectivement en $D$ et$ E$.
Les droites $ AD$ et $CE$ intersectent $ \Gamma$ une seconde fois respectivement en $G$ et $H$. Les tangentes à $ \Gamma$ en $A$ et $C$ intersectent la droite $DE$ respectivement en $L$ et $M$.
Montrer que les droites $LH$ et $MG$ sont sécantes en point qui appartient à $\Gamma$.
Amicalement
Réponses
-
Bonjour Bouzar
Que vient faire ce cercle dans cette galère?
Je n'ai pas résolu ton exo mais je sais que, ton problème étant projectif, le résultat devrait être vrai pour $D$ et $E$ quelconques sur les droites $BC$ et $BA$ respectivement.
On peut supprimer l'hypothèse $A,C,D,E$ cocycliques qui n'apporte rien à l'énoncé.
Amicalement. Poulbot -
Bonjour,
je viens de résoudre très simplement ce problème en remplaçant le conique ''gamma'' par un cercle...
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour poulbot et Jean-Louis,
J'ai transmis l'exercice tel quel. Tu as raison de "critiquer" l'énoncé mais il n'est pas de moi.
Amicalement -
Merci Bouzar pour ce nouvel exercice.
Je ne sais pas où tu vas les chercher, peut-être dans tes archives qui me semblent être inépuisables.
Je trouve qu'il ressemble un peu à ton exercice précédent qui a conduit à celui de Jean-Louis.
A priori, ton problème appartient à la géométrie euclidienne puisque tu fais intervenir des cercles mais ils ne sont que des attrape-nigauds destinés à égarer tes lecteurs.
En fait ton exercice appartient à la géométrie projective et on peut le mettre sous une forme générale à la Poulbot quitte ensuite à choisir une carte affine adéquate du plan projectif pour tomber sur une configuration réduite plus simple à prouver!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous
C'est un phénomène bien connu.
La droite $DE$ est antiparallèle de la droite $AC$ par rapport aux droites $BA$ et $BC$.
Elle reste donc parallèle à une direction fixe quand le cercle varie.
D'un point de vue projectif, on peut donc oublier ces maudits cercles et imposer à la droite $DE$ de passer par un point fixe $O$.
Voici donc la forme projective générale de la propriété à démontrer.
Disparus les maudits cercles, il ne reste plus que des points, des droites et une conique!
Arrivé à ce stade, on peut sans doute montrer que $\Omega\in \Gamma$ directement si on maitrise bien son défunt cours de géométrie projective sinon on envoie une droite bien choisie à l'infini, etc, etc...
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour pappus et merci.
Voici mon illustration sans ce maudit cercle.
Amicalement -
Bonsoir,
j'ai utilisé deux fois l'hexagone de Pascal dans le cas particulier avec tangente...
Ma démarche s'étend à une conique...
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour Jean-Louis,
Tu utilises le résultat de Pascal dans un plan projectif, disant que les trois intersections des côtés opposés de l'hexagramme de Pascal sont alignées, si, et seulement si, les six points sont sur une conique.
C'est une méthode assez rapide.
Amicalement -
Bonjour à tous
Pour le moment, personne n'a montré que $\Omega\in \Gamma$, fut-ce en appliquant le théorème de Pascal mais il existe d'autres théorèmes de la théorie des coniques projectives tout aussi sinon plus performants!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Pour démontrer que $\Omega\in (\Gamma$ qui est une propriété projective, je déclare $AC$ la droite de l'infini. La conique devient dans cette nouvelle carte affine une hyperbole. Je choisis comme axes de coordonnées les deux asymptotes et, pour terminer la définition du repère je déclare $B=(1,1)$. Je définis $M=(m,0)$ et $L=(0,l)$.
La droite $LM$ a pour équation $\dfrac x m + \dfrac y l=1$
Le point $D$ a pour coordonnées $\big(m(1-1/l),1\big)=(u,1)$. Le point $E$ a pour coordonnées $\big(1,l(1-1/m)\big)=(1,v)$
ce qui définit $u$ et $v$.
Le point $G$ a pour coordonnées $\big(u,1/u)$. Le point $H$ a pour coordonnées $\big(1/v,v\big)$
Il reste à exprimer les équations des droites $MG$ et $LH$
Edit : erreur dans l'équation de $LM$, $m$ et $l$ sont permutés.
On trouve tout calcul fait $x_{\Omega}=l/m,\ y_{\Omega}=m/l$; Les droites $LM$ et $\Omega B$ sont bien parallèles. -
Mon cher zephyr
Pourquoi nous laisses-tu toujours en chemin au milieu du gué?
Si tu avais les moyens de faire la figure, voilà ce que tu aurais obtenu!!!
Que remarques-tu?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Mon cher Pappus,
Merci pour la figure. J'essaie de terminer mon calcul.
La relation $\Omega \in (\Gamma$ équivaut à l'existence d'une relation homographique entre $m$ et $l$.
J'essaie de terminer mon calcul "sans erreur":-( -
Tous calculs faits, $x_{\Omega}=-\dfrac {u-1}{v-1},\ y_{\Omega} =-\dfrac {v-1}{u-1} $. Oups!
quelque soit $l,m$, $\Omega\in (\Gamma)$. -
Merci zephyr
Peux-tu confirmer ce que je suggère sur ma figure?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Je ne vois pas ce que tu veux suggérer.
-
Mon cher zephyr
Ca crève pourtant les yeux!!
$$B\Omega\parallel LM$$
Explication de gravures!!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Si le parallélisme que tu indiques est vrai, alors il y a une faute quelque part dans mon calcul. les pentes des deux droites sont opposés et non égales. Je me replonge dans mon calcul.
Edit : erreur trouvé et corrigé dans le message de calcul ci-dessus. L'équation de la droite $LM$ était erroné. Les pentes des droites $LM$ et $\Omega B$ sont bien égales. -
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 19
+15 Invités