Parallèle à une médiane

Bonjour jean-Louis et à tous,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

ABC un triangle :

$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

(O) le cercle circonscrit :

$c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z=0.$

DEF le triangle orthique :

$D\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\end{array}\right]

\ ,\quad

E\simeq \left[\begin{array}{c}a^2 + b^2 - c^2\\ 0\\ -a^2 + b^2 + c^2\end{array}\right]

\ ,\quad

F\simeq \left[\begin{array}{c} a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 + c^2\\ 0\end{array}\right]$

P le point d'intersection de (AD) et (EF) :

$P\simeq \left[\begin{array}{c} 2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right]$

Y, Z les seconds points d'intersection de (O) resp. avec (BP), (CP) :

$Y, Z\simeq \left[\begin{array}{c} 2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\ 2 b^2 (a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -2 (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ (a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ -2 c^2 (a^2 - b^2 + c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)\end{array}\right]$

X le point d’intersection de (BZ) et (CY) :

$X\simeq \left[\begin{array}{c} -(a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2) (a^4 - a^2 b^2 -
3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\ -b^2 (-a^2 + b^2 + c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 -
2 b^2 c^2)\\ -c^2 (-a^2 + b^2 + c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 +
2 c^4)\end{array}\right]$

M milieu de [BC] :

$M \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

Montrons que $(XO)$ est parallèle à $(AM)$.

$(XO) \simeq \left[\begin{array}{c} -(b - c) (b + c) (-a^2 + b^2 + c^2)\\ a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4\\ -a^4 + 3 a^2 b^2 - 2 b^4 + a^2 c^2 + 2 b^2 c^2\end{array}\right]
\ , \qquad
(AM) \simeq \left[\begin{array}{c}0\\-1\\ 1\end{array}\right]$

Le déterminant $\left|

\begin{array}{ccc}

-(b - c) (b + c) (-a^2 + b^2 + c^2) & a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4&-a^4 + 3 a^2 b^2 - 2 b^4 + a^2 c^2 + 2 b^2 c^2\\
0 &-1& 1\\
1&1&1

\end{array}

\right|\quad $ est nul.

$(XO)$ est parallèle à $(AM)$.

Amicalement

Bonjour zephir,

Je me permets de te renvoyer vers le livre de JDE aux pages 18 et 19.

Amicalement