Parallèle à une médiane
dans Géométrie
Bonjour
1. ABC un triangle acutangle
2. DEF le triangle orthique
3. P le point d'intersection de (AD) et (EF)
4. (O) le cercle circonscrit à ABC
5. Y, Z les seconds points d'intersection de (BP), (CP) avec (O)
6. X le point d'intersection de (BZ) et (CY)
7. M le milieu de [BC].
Question : (XO) est parallèle à (AM).
Sincèrement
Jean-Louis.
[Contenu du pdf joint. AD]
1. ABC un triangle acutangle
2. DEF le triangle orthique
3. P le point d'intersection de (AD) et (EF)
4. (O) le cercle circonscrit à ABC
5. Y, Z les seconds points d'intersection de (BP), (CP) avec (O)
6. X le point d'intersection de (BZ) et (CY)
7. M le milieu de [BC].
Question : (XO) est parallèle à (AM).
Sincèrement
Jean-Louis.
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Réponses
J'utilise les coordonnées barycentriques.
ABC un triangle :
$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
(O) le cercle circonscrit :
$c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z=0.$
DEF le triangle orthique :
$D\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\end{array}\right]
\ ,\quad
E\simeq \left[\begin{array}{c}a^2 + b^2 - c^2\\ 0\\ -a^2 + b^2 + c^2\end{array}\right]
\ ,\quad
F\simeq \left[\begin{array}{c} a^2 - b^2 + c^2\\ -a^2 + b^2 + c^2\\ 0\end{array}\right]$
P le point d'intersection de (AD) et (EF) :
$P\simeq \left[\begin{array}{c} 2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)\end{array}\right]$
Y, Z les seconds points d'intersection de (O) resp. avec (BP), (CP) :
$Y, Z\simeq \left[\begin{array}{c} 2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\ 2 b^2 (a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -2 (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ (a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2)\\ -2 c^2 (a^2 - b^2 + c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)\end{array}\right]$
X le point d’intersection de (BZ) et (CY) :
$X\simeq \left[\begin{array}{c} -(a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2) (a^4 - a^2 b^2 -
3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4)\\ -b^2 (-a^2 + b^2 + c^2) (a^4 - 3 a^2 b^2 + 2 b^4 - a^2 c^2 -
2 b^2 c^2)\\ -c^2 (-a^2 + b^2 + c^2) (a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 +
2 c^4)\end{array}\right]$
M milieu de [BC] :
$M \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$
Montrons que $(XO)$ est parallèle à $(AM)$.
$(XO) \simeq \left[\begin{array}{c} -(b - c) (b + c) (-a^2 + b^2 + c^2)\\ a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4\\ -a^4 + 3 a^2 b^2 - 2 b^4 + a^2 c^2 + 2 b^2 c^2\end{array}\right]
\ , \qquad
(AM) \simeq \left[\begin{array}{c}0\\-1\\ 1\end{array}\right]$
Le déterminant $\left|
\begin{array}{ccc}
-(b - c) (b + c) (-a^2 + b^2 + c^2) & a^4 - a^2 b^2 - 3 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 2 c^4&-a^4 + 3 a^2 b^2 - 2 b^4 + a^2 c^2 + 2 b^2 c^2\\
0 &-1& 1\\
1&1&1
\end{array}
\right|\quad $ est nul.
$(XO)$ est parallèle à $(AM)$.
Amicalement
Pourquoi les $1$ en dernière ligne ?
Le déterminant est bien nul car $-2*C_1+C_2+C_3=0$.
Amicalement,
zephir
Je me permets de te renvoyer vers le livre de JDE aux pages 18 et 19.
Amicalement
Merci en tout cas de ta remarque.
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Orthique encyclopedie 10.pdf p. 41...
Sincèrement
Jean-Louis