Arcsinus arcsinum fricat.
Lehmus-Steiner généralisé
dans Géométrie
Bonjour,
Soit $ABC$ un triangle isocèle de base $BC$ et hauteur $AH$ ; soient $K$ un point du segment $AH$, $B'$ l'intersection des droites $(AC)$ et $(BK)$, $C'$ l'intersection des droites $(AB)$ et $(CK)$,
On démontre facilement que $BB' = CC'$, ce qui entraîne l'égalité des médianes, des hauteurs, des bissectrices, etc.
Quid de la réciproque ?
A+
Soit $ABC$ un triangle isocèle de base $BC$ et hauteur $AH$ ; soient $K$ un point du segment $AH$, $B'$ l'intersection des droites $(AC)$ et $(BK)$, $C'$ l'intersection des droites $(AB)$ et $(CK)$,
On démontre facilement que $BB' = CC'$, ce qui entraîne l'égalité des médianes, des hauteurs, des bissectrices, etc.
Quid de la réciproque ?
A+
Réponses
-
Bonjour Piteux_gore,
Peux-tu énoncer clairement la réciproque.
Amicalement -
RE
L'égalité de deux céviennes issues de $B$, $C$ respectivement et se coupant sur la hauteur $AH$ implique-t-elle l'égalité des côtés?
A+Arcsinus arcsinum fricat. -
Mon cher Piteux_gore,
Je dis que oui en tenant compte de tes hypothèses.
$A,B,C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
$P \simeq \left[\begin{array}{c} u\\ v\\ w\end{array}\right]
,\qquad
B' \simeq \left[\begin{array}{c} u\\ 0\\ w\end{array}\right]
,\qquad
C' \simeq \left[\begin{array}{c} u\\ v\\ 0\end{array}\right]$
L'hypothèse $BB'=CC'$ entraîne que $v=w.$
L'hypothèse $P \in AH$ entraîne que $c^2 - b^2=0$ soit que $c=b$ puisque ceux-ci doivent être positifs.
Amicalement -
Bonjour Bouzar
"L'hypothèse $BB^{\prime }=CC^{\prime }$ entraîne que $v=w$"
Je ne sais pas ce que tu as voulu dire mais c'est visiblement faux.
Plus précisément, l'ensemble des points $P$ pour lesquels $BB^{\prime }=CC^{\prime }$ est en général une cubique, ce qui me conduit à penser que la réponse à la question de Piteux_gore "L'égalité de deux céviennes issues de $B,C$, respectivement et se coupant sur la hauteur $AH$ implique-t-elle l'égalité des côtés?" est NON .
Amicalement. Poulbot -
Bonjour poulbot
Je me suis fourvoyé et je m'en excuse.
Amicalement -
Bonjour,
Par permutation circulaire, on a deux autres cubiques.
Les trois cubiques se coupent en deux points $M_1$ et $M_2$ d'affixes $\dfrac{s_1\pm D}{3}$ avec Morley circonscrit, où $D$ est une racine carrée de $4(s_1^2-3s_2)$.
Ce deux points sont les points dont le triangle cévien $A'B'C'$ par rapport à $ABC$ vérifie $AA'=BB'=CC'$.
Ce sont les foyers de l'ellipse circonscrite de Steiner.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
D'où le théorème:
Les céviennes des foyers de l'ellipse circonscrite de Steiner ont même longueur.
Question: ceci est il connu ?
Il est probable que oui, rien n'étant nouveau sous le soleil, comme dirait Pappus.
Cordialement,
Rescassol
Edit: Finalement, c'est connu, voir les points 39158 et 39159 dans l'ETC.
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Bonjour!
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