Cercle tangent à 2 cercles et...

AALLeXX
AALLeXX
dans Géométrie
Bonjour à tous,

Le sujet semble voisin de plusieurs déjà discutés ici, mais je ne m'y retrouve pas. Et j’espère poster au bon endroit.

Je cherche le cercle C2 qui doit être tangent à deux autres cercles - C0 et C1 - à l’intérieur de C0 et à l’extérieur de C1 et dont le centre se trouve sur la droite D (x=constante), coupant C0 mais pas C1.
C0 et C1 sont connus, de centres A (a,b) et B(c,d) et de rayons respectifs R0 et R1.
La droite D est aussi connue, x = e, une simple constante.
Les points C et I sont aussi connus, et n la distance CI.
Je sais qu'il a 2 cercles possibles mais le calcul et le même pour les 2.
La figure ci dessus est plus parlante.

Je ne cherche pas la construction géométrique mais analytique.
J'ai déjà effectué mes calculs et abouti ... presque. "Presque" car en traçant les cercles trouvés, il persiste une petite erreur que je ne parviens pas a éradiquer: les deux cercles solutions se positionnent bien mais le contact avec C0 n'est pas correct, alors qu'il l'est avec C1 :/ Cela se constate sur la second figure calculée : le disque vert pénètre légèrement le cercle bleu, alors que le contact avec le point rouge est correct. J'ai maintes fois vérifié mon tracé (devCercles2_2.png) et il me semble correct. Je soupçonne donc une erreur de calcul ou de méthode.

Mon approche est la suivante : pour simplifier les calculs je cherche O relativement au point I : d (O,I) = y, inconnue.
Je considère les angles alfa et bêta, leur cos et sin sont simples :

cos alfa = AC / AO = AC / (R0 - r)
sin alfa = CO / AO = y - IC / (R0 - r)

cos beta = BI / BO = BI / (R1 + r)
sin beta = IO / BO = y / (R1 + r)

La somme des carrés des sin et cos nous donne 2 équations du second degré en r et y, qui se manipulent assez simplement. Je vous épargne mes calculs (pour rester bref). J'obtiens d'abord les deux rayons puis en déduis les deux ordonnées.
Avec le petite erreur au contact de C0 :/

Est ce, selon vous, une approche correcte ?
Y en a t il une autre qui pourrait me permettre de vérifier ces calculs ?
Même sans le détail des calculs, y aurait il une erreur évidente" qui m'aurait échappé ?
Merci pour vos conseils et autres idées,

Alexandre109836
109838

Réponses

  • Dasson
    Dasson
    Dans les mêmes eaux ?
  • AALLeXX
    AALLeXX
    Mmm, je ne sais pas bien si cela peut s'appliquer ici, surtout avec ma contrainte sur le centre du/des cercles recherchés.
    Je vais y regarder de plus prés une fois encore.
    Merci !
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Dans ce cas particulier, le lieu du centre du cercle $C_2$ assujetti seulement à être tangent aux cercles $C_0$ et $C_1$ est une ellipse, qu'est-ce que c'est encore que cette bestiole?
    Donc le problème d'AALLeXX revient à chercher les intersections éventuelles d'une droite et d'une ellipse.
    Dans les siècles précédant notre Ignorance Organisée, on savait les construire à la règle et au compas mais bof, on en a plus rien à cirer aujourd'hui !!!!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • AALLeXX
    AALLeXX
    Bonjour Pappus,

    Je crains ne pas bien suivre. Le point O décrit donc une ellipse ? Quelles en sont ses caractéristiques ?
    Si en effet je pouvais la définir, le calcul de l'intersection avec D ne devrait plus être bien compliqué.

    Merci, amicalement,

    Alexandre
  • Lake
    Lake
    Bonjour,

    Oui, le point $O$ décrit une ellipse.
    Les deux cercles en noir $O_1$ et $O_2$ ainsi que la droite $\Delta$ sont donnés.
    Le lieu des centres des cercles tangents aux deux cercles donnés est une ellipse de foyers $O_1$ et $O_2$ dessinée (mais c'est inutile) en bleu sur la figure.
    Le cercle directeur de cette ellipse de centre $O_1$ est dessiné en magenta.
    Le point $O'_2$ est le symétrique de $O_2$ par rapport à $\Delta$ et le cercle en pointillé est un cercle quelconque passant par $O_2$ et $O'_2$. Il recoupe le cercle directeur en $J$ et $K$.
    Les droites $(JK)$ et $(O_2O'_2)$ se coupent en $I$ d'où l'on mène les deux tangentes en $T$ et $T'$ au cercle directeur.
    On obtient ensuite les intersections $O$ et $O'$ de l'ellipse avec la droite $\Delta$. Ce sont les centres de tes cercles.

    Cette construction est parfaitement commentée dans le Lebossé-Hémery de Mathélem.109910
  • pappus
    pappus
    Mon cher AALLeXX
    Voici ta figure avec, je l'espère, les contacts que tu attendais car il y a en effet deux familles de cercles tangents aux cercles $C_0$ et $C_1$.
    J'ai même eu l'extrême gentillesse de te suggérer la construction de tes cercles $C_2$.
    Les points de contact $m_0$ et $m_1$ s'échangent dans l'inversion de pôle $I_-$,, échangeant les cercles $C_0$ et $C_1$, où $I_-$ est le centre d'homothétie négative des cercles $C_0$ et $C_1$.
    Sur la figure apès une intense contemplation, on lit:
    $\omega_2\omega_0=r_0-r_2\qquad$
    $\omega_2\omega_1=r_1+r_2\qquad$
    Donc
    $\omega_2\omega_0+\omega_2\omega_1=r_0+r_1$
    Ici $r_{\bullet}$ est le rayon du cercle $C_{\bullet}$.
    Ainsi $\omega_2$ est sur une ellipse de foyers $\omega_0$ et $\omega_1$.
    Homothétie, centre d'homothértie, inversion, ellipse, toutes ces bestioles ont disparu dans la grande Nuit Républicaine de l'Ignorance et de l'Analphabétisme.
    Je te souhaite donc bonne chance!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Grillé par Lake que je salue!!109914
  • AALLeXX
    AALLeXX
    Cher Pappus, Cher Lake,

    Merci tous deux pour vos explications détaillées et références.

    Oui, l'ignorance m'a gagné ici... ceci n'est pas mon quotidien, tout cela est déjà bien loin.
    Vos rappels me font (un peu) sortir de la nuit ;-) Merci !

    Amicalement,

    Alexandre
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