La question 3) de ton ex 2 est une histoire de symétrie axiale, pas d'homothétie comme annoncé au début de l'ex (d'ailleurs les questions n'ont rien à voir entre elles).
La question 4 du même ex est une histoire de translation, pas d'homothétie. Vaguement dans le même esprit, mais en beaucoup plus difficile : construire un quadrilatère convexe connaissant la longueur de chacun des côtés et la longueur entre les milieux de deux côtés opposés.
Oui, je vais changer l'intitulé de l'exercice 2: "exercices de base utilisant les transformations". Les questions sont des petits exercices indépendants les uns des autres qui peuvent se faire avec des moyens élémentaires.
C'est quoi précisément l'énoncé avec le quadrilatère?
1) Construire un triangle $ABC$, connaissant $AB$, $AC$ et $AA'$, où $A'$ est le milieu de $[BC]$.
2) Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe. On note $E$ le milieu de $[AB]$ et $F$ le milieu de $[CD]$. Soient $M$ l'image de $E$ par la translation qui transforme $B$ en $C$ et $N$ l'image de $E$ par la translation qui transforme $A$ en $D$.
a) Montrer que $F$ est le milieu de $[MN]$.
b) Déduire des questions précédentes la construction d'un quadrilatère convexe connaissant les longueurs de ses quatre côtés et la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés opposés.
C'est un exercice se trouvant dans le Cagnac et Thiberge, classe de 2nde, 1950 (on n'avait pas peur de poser des exercices difficiles dans un livre scolaire à l'époque), que j'ai reformulé dans le programme de 4e d'aujourd'hui.
Au passage, les questions 3 et 4 de ton ex 2 se trouvent dans le volume 1 de Geometric Transformations des frères Yaglom. D'ailleurs les volumes 1 et 2 (voire les 3 et 4) sont une bonne source d'inspiration pour cette leçon.
Je poste également mon fichier ici (c'est peut-être l'endroit le plus adapté du forum) pour que vous me donniez vos avis (niveau, exercice à développer, etc.).
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Ton exercice 3 ne nécessite pas de similitude. Jonhson dans Advanced Euclidean Geometry (Dover) plie ça en cinq lignes à coup d'angles orientés.
Il faudrait allonger la sauce. Par exemple, en notant que tous les triangles de Miguel d'un point de Miguel donné $P$ sont semblables et que le centre de similitude est $P$ (et des corollaires qui s'en déduisent). Voir Jonhson.
De plus, plutôt que d'utiliser des similitudes, tu peux traiter ce problème à coup d'inversion, ce qui te donne deux façons de traiter le thème de la leçon avec le même exercice (et l'utilisation d'une inversion ici est suffisamment classique pour être connue de tous les membres du jury).
"Ton exercice 3 ne nécessite pas de similitude. Jonhson dans Advanced Euclidean Geometry (Dover) plie ça en cinq lignes à coup d'angles orientés."
Je ne crois pas qu'il faille penser de cette façon dans le cadre de la préparation à l'agrégation. De nombreux exercices (beaucoup ? presque tous ?) peuvent se résoudre de différentes manières, certaines étant plus rapides, d'autres plus astucieuses, etc. Un exercice proposé à l'oral ne doit pas nécessairement être résolu par la méthode la plus rapide connue. Le candidat n'est pas tenu de connaître toutes les solutions existantes pour chaque exercice. C'est tout bonnement impossible. Par contre, il faut bien avoir conscience que la solution qu'on propose n'est peut-être pas optimale et qu'il peut en exister une autre plus courte.
Ce qu'attend le jury, c'est avant tout que la solution proposée ne soit pas triviale et corresponde au thème. On peut toujours proposer la résolution d'un exercice par une méthode en sachant bien qu'il existe une autre façon de faire plus "optimale" simplement parce que la méthode employée rentre parfaitement dans le cadre de la leçon. Tout cours ou bouquin bien fait procède ainsi, en indiquant qu'une autre solution sera proposée plus tard utilisant une autre méthode. Au candidat de choisir sa tactique : soit il l'annonce en justifiant son choix par des raisons pédagogiques, soit il ne l'annonce pas et garde l'autre solution en réserve au cas où on lui demanderait de résoudre l'exercice autrement...
Bref, il ne faut pas se censurer parce qu'un bouquin anglo-saxon (qui sera peut-être inconnu des trois membres de son jury) propose une autre façon de résoudre l'exercice. Par contre, comme suggéré plus haut, il faut avoir conscience que ce genre de situation peut arriver, quitte à bien faire comprendre au jury (de façon subtile ;-)) qu'on en est conscient...
Réponses
La question 4 du même ex est une histoire de translation, pas d'homothétie. Vaguement dans le même esprit, mais en beaucoup plus difficile : construire un quadrilatère convexe connaissant la longueur de chacun des côtés et la longueur entre les milieux de deux côtés opposés.
C'est quoi précisément l'énoncé avec le quadrilatère?
2) Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe. On note $E$ le milieu de $[AB]$ et $F$ le milieu de $[CD]$. Soient $M$ l'image de $E$ par la translation qui transforme $B$ en $C$ et $N$ l'image de $E$ par la translation qui transforme $A$ en $D$.
a) Montrer que $F$ est le milieu de $[MN]$.
b) Déduire des questions précédentes la construction d'un quadrilatère convexe connaissant les longueurs de ses quatre côtés et la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés opposés.
C'est un exercice se trouvant dans le Cagnac et Thiberge, classe de 2nde, 1950 (on n'avait pas peur de poser des exercices difficiles dans un livre scolaire à l'époque), que j'ai reformulé dans le programme de 4e d'aujourd'hui.
Au passage, les questions 3 et 4 de ton ex 2 se trouvent dans le volume 1 de Geometric Transformations des frères Yaglom. D'ailleurs les volumes 1 et 2 (voire les 3 et 4) sont une bonne source d'inspiration pour cette leçon.
Je pense également qui faut que je complète ma fiche avec un exercice sur les similitudes !
Dites-moi moi si c'est pas au niveau exigé et le développement que vous feriez à ma place...
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Il faudrait allonger la sauce. Par exemple, en notant que tous les triangles de Miguel d'un point de Miguel donné $P$ sont semblables et que le centre de similitude est $P$ (et des corollaires qui s'en déduisent). Voir Jonhson.
De plus, plutôt que d'utiliser des similitudes, tu peux traiter ce problème à coup d'inversion, ce qui te donne deux façons de traiter le thème de la leçon avec le même exercice (et l'utilisation d'une inversion ici est suffisamment classique pour être connue de tous les membres du jury).
Je ne crois pas qu'il faille penser de cette façon dans le cadre de la préparation à l'agrégation. De nombreux exercices (beaucoup ? presque tous ?) peuvent se résoudre de différentes manières, certaines étant plus rapides, d'autres plus astucieuses, etc. Un exercice proposé à l'oral ne doit pas nécessairement être résolu par la méthode la plus rapide connue. Le candidat n'est pas tenu de connaître toutes les solutions existantes pour chaque exercice. C'est tout bonnement impossible. Par contre, il faut bien avoir conscience que la solution qu'on propose n'est peut-être pas optimale et qu'il peut en exister une autre plus courte.
Ce qu'attend le jury, c'est avant tout que la solution proposée ne soit pas triviale et corresponde au thème. On peut toujours proposer la résolution d'un exercice par une méthode en sachant bien qu'il existe une autre façon de faire plus "optimale" simplement parce que la méthode employée rentre parfaitement dans le cadre de la leçon. Tout cours ou bouquin bien fait procède ainsi, en indiquant qu'une autre solution sera proposée plus tard utilisant une autre méthode. Au candidat de choisir sa tactique : soit il l'annonce en justifiant son choix par des raisons pédagogiques, soit il ne l'annonce pas et garde l'autre solution en réserve au cas où on lui demanderait de résoudre l'exercice autrement...
Bref, il ne faut pas se censurer parce qu'un bouquin anglo-saxon (qui sera peut-être inconnu des trois membres de son jury) propose une autre façon de résoudre l'exercice. Par contre, comme suggéré plus haut, il faut avoir conscience que ce genre de situation peut arriver, quitte à bien faire comprendre au jury (de façon subtile ;-)) qu'on en est conscient...