Tripo558

Merci Poulbot pour ta figure et tes explications.
Maintenant j'attends une preuve du niveau de l'agrégation!!!
Amicalement
[small]p[/small]apus

Bonjour à tous
J'aime bien Rescassol et c'est un excellent ami mais je n'arrive jamais à me faire à ce genre de démonstration.
Je suis sans doute trop vieux jeu!
N'oublions pas que cet exercice a été donné dans les années 1840-1850 et que les professeurs de l'université de Cambridge attendaient un tout autre genre de preuve!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Rescassol!
Bien sûr.
Tu es face à deux expressions apparemment compliquées, celle que tu appelles $X_1$ et l'autre que tu appelles $X_2$.
Tu les rentres dans ton logiciel qui te crache $X_1-X_2=0$.
Tu dis: donc c'est gagné.
Je doute fort que les examinateurs de Cambridge auraient été satisfaits.
Il doit y avoir une raison plus profonde soit de nature géométrique soit de nature algébrique qui entraîne cette identité!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Rescassol
Tu as raison de regarder Roland Garros.
J'attendrai les quarts avant d'y jeter un petit coup d'oeil.
Félicitations pour les simplifications que tu aurais faites.
Elles ne me semblent guère évidentes et tu aurais eu intérêt à être très méticuleux avec ces vieux grincheux de l'Université de Cambridge.
D'autre part dans les années 1840-1850, on en était au début de l'utilisation des nombres complexes en Mathématiques et en particulier en Analyse.
Les applications des nombres complexes en géométrie dont tu es un si brillant utilisateur ne devaient pas être enseignées mais sait-on jamais?
On dispose donc de ta solution mais comme je l'ai dit, plus on dispose de solutions différentes d'un problème et mieux on se porte.
Poulbot a bien montré avec ses pinailleries que tu t'étais restreint aux droites passant par le centre du cercle unité via ton petit argument de translation.
Une telle droite est définie par un point $\pm u$ du cercle unité.
Je prétends que ta fonction $X_1$ est la restriction au cercle unité d'une certaine forme quadratique définie sur tout le plan.
Peux-tu m'écrire cette forme quadratique?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves.
Faire tourner les axes pour faire disparaître le terme rectangle d'une forme quadratique de deux variables, c'était le pont aux ânes quand j'étais en Taupe.
Rappelez vous qu'on ne connaissait pas l'algèbre linéaire!
Cette méthode suffisait pour la dimension $2$!
Pour la dimension $3$, je ne me souviens plus du tout comment on faisait. On devait surement pédaler dans la semoule.
Si quelqu'un pouvait me rafraichir la mémoire?
D'après mes vagues souvenirs, on ne devait pas perdre de temps à vasouiller et comme aujourd'hui où on en réduit à admettre les théorèmes de Thalès et de Pythagore, le théorème spectral qui ne portait pas encore son nom était piteusement cantonné au rang d'axiome!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher zephyr
Si tu le dis.
Il ne reste plus qu'à rédiger tes idées!
Tu peux aussi t'attaquer à la solution barycentrique.
J'ai indiqué le chemin à suivre!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher zephyr
J'ai parfaitement lu tous tes messages.
Ce que je voulais dire, c'est qu'il ne reste plus qu'à les mettre en forme de façon définitive.
Tu as tort de ne pas vouloir t'investir dans le calcul barycentrique car si tu l'avais utilisé, tu aurais vu que tout était d'une tristesse désolante!
Amicalement

Merci Rescassol
Oui, c'est cela!
Mais si tu veux une distance algébrique, il faut passer à la racine carrée et ta formule se lit avec mes notations, j'ai remplacé $(p,q,r)$ par $(u,v,w)$:
$$d(M,D)=\dfrac{2S(uX+vY+wZ)}{\sqrt {\Delta}},\qquad
$$ avec $$\Delta=a^2u^2+b^2v^2+c^2w^2+(a^2-b^2-c^2)vw+(b^2-c^2-a^2)wu+(c^2-a^2-b^2)uv.\qquad
$$ Comme la formule de Rescassol est homogène de degré $0$ en $(X,Y,Z)$, on peut toujours supposer $X+Y+Z=1$ c'est-à-dire qu'on travaille en coordonnées barycentriques normalisées et j'ai tenu compte de la formule de Héron.
C'est la formule du glossaire de Pierre que Rescassol a dû trouver dans ses archives, qui, visiblement, sont bien fournies !
Maintenant l'astuce qui va rendre tout trivial est la suivante :
$\Delta=a^2(u-v)(u-w)+b^2(v-w)(v-u)+c^2(w-u)(w-v)$
Ainsi
$x=d(A,D)=\dfrac{2S}{\sqrt{\Delta}}u$, $y=d(B,D)=\dfrac{2S}{\sqrt{\Delta}}v$, $z=d(C,D)=\dfrac{2S}{\sqrt{\Delta}}w$
Il en résulte immédiatement que :
$$\Delta=\Delta.\dfrac{X_1}{4S^2}.\qquad
$$ Finalement
$$X_1=4S^2.\qquad
$$ CQFD
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
On a déjà trois solutions.
D'autres idées ?

Merci JLT pour ta solution originale qui me laisse le sentiment que tu aurais pu l'adapter en restant dans le plan.
On en est donc à quatre solutions et ce n'est peut-être pas fini!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Rescassol
Je t’ai donné le numéro de l’article ainsi que la page de son glossaire!
S’il y a un document sur la géométrie barycentrique où on peut tout trouver, c’est bien celui-là
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves.
Comme je m'ennuie un peu, je me suis lancé un petit défi.
Adapter la solution de JLT en restant dans le plan.
Voilà mon idée.
Si $\bf u$ est un vecteur et $O$ un point quelconque du plan, on définit l'application $f$ par:
$$f({\bf\mbox u})=({\bf\mbox u}.\overrightarrow{BC})\overrightarrow{OA}+({\bf\mbox u}.\overrightarrow{CA})\overrightarrow{OB}+({\bf\mbox u}.\overrightarrow{AB})\overrightarrow{OC}\qquad$$
Cette application ne dépend pas de $O$ (à peu près évident) et c'est un endomorphisme (évident).
Tout ce qu'on a à faire est de démontrer directement que c'est une similitude vectorielle d'angle droit et de rapport $2S$.
Voilà un minuscule pour ne pas dire ridicule exercice dont un agrégatif, véritable professionnel affuté d'algèbre linéaire, ne devrait faire qu'une bouchée!
Vous vous rendez compte?
La dimension deux, c'est de la gnognotte!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour JLT
Je constate que tu es donc en pleine forme. Bravo!
Je vais suivre tes suggestions
1° $O=A$
Donc
$$f({\bf\mbox u})=({\bf\mbox
u}.\overrightarrow{CA})\overrightarrow{AB}+({\bf\mbox
u}.\overrightarrow{AB})\overrightarrow{AC}\quad$$.
2° On calcule le produit scalaire $f({\bf\mbox u}).{\bf\mbox u}$
Allons y
$$f({\bf\mbox u}).{\bf\mbox u}=({\bf\mbox
u}.\overrightarrow{CA})(\overrightarrow{AB}.\bf\mbox u)+({\bf\mbox
u}.\overrightarrow{AB})(\overrightarrow{AC}.\bf\mbox u)=0\qquad$$
3° Que se dit l'agrégatif affuté?
$f$ est un opérateur antisymétrique.
Bof!
En toute dimension et dans toute base orthonormée, les opérateurs symétriques (resp. antisymétriques) sont exactement ceux dont la matrice est symétrique (resp.antisymétrique) dans cette base orthonormée.
Résultat des courses:
Dans une base orthonormée du plan (vectoriel), la matrice de $f$ est de la forme:
$$\begin{Vmatrix}
0&-\alpha\\
\alpha &0
\end{Vmatrix}
\qquad\qquad$$
Alors là évidemment on sait ou on ne sait pas et plus probablement on ne sait pas!
C'est la matrice d'une similitude directe d'angle droit.
Et j'ai alors une petite pensée émue pour Odile0502!!!
Et je ne sais trop s'il faut en rire ou en pleurer!!!
4°On calcule le déterminant de $f$.
J'aime bien le on comme si c'était une formalité.
Il faudrait poser cet exercice en colle pour le savoir!!
On calcule la matrice du couple $(f({\overrightarrow{AB}},f({\overrightarrow{AC}}))$ dans la base $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$
On trouve pour cette matrice:
$$
\begin{Vmatrix}
-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}&-\overrightarrow{AC}^2\\
\overrightarrow{AB}^2&\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
\end{Vmatrix}
\qquad\qquad
$$
Le déterminant de cette matrice qui, d'après le cours, est le déterminant de $f$ vaut:
$$\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^2=4S^2\qquad$$
Combien connaissent cette dernière formule?
5° On termine à la manière de JLT
On a donc $f({\bf\mbox u})^2=4S^2{\bf\mbox u}^2$
et on applique la formule:
Si $x+y+z=0$, alors on a:
$$\parallel x \overrightarrow{OA}+ y\overrightarrow{OB}+ z \overrightarrow{OC}\parallel^2=-a^2yz-b^2zx-c^2xy$$
Dans le glossaire de Pierre, c'est le théorème 5.2.4, page 67.
CQFD
C'est le moment de réfléchir sur cet exercice des Tripos.
On ne saura jamais quelle était la solution attendue mais ce qui est certain, c'est la qualité des exercices proposés à cette époque et qui n'a rien à voir avec celle des exercices proposés habituellement sur ce forum et là il y a de quoi pleurer!.
Je suis content de voir qu'il a suscité l'intérêt de beaucoup et quand j'avais dit que j'attendais des solutions du niveau de l'agrégation, je ne m'étais pas trompé!
Amicalement
[small]p[/small]appus