ABCD est carré si et seulement si a+b+c+d=0

rbhgaston
rbhgaston
dans Géométrie
Montrer que ABCD est carre si et seulement si a+b+c+d=0 avec A(a), B(b), C(c) et D(d) et |a| = |b| = |c| = |d|

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    L'énoncé est faux : prend $a= 1 + 2i, b = \bar a, c = -a, d= - b$.
  • rbhgaston
    rbhgaston
    Oui donc l'énoncé est faux mais j'ai trouvé sur internet le même problème avec une condition supplémentaire.
    Je pense que le problème sera correct avec |a| = |b| = |c| = |d| = 1
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    C’est toujours faux.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Poirot
    Poirot
    Tu peux maintenant prendre $a' = \frac{a}{|a|}, b' = \frac{b}{|b|}, c' = \frac{c}{|c|}$ et $d' = \frac{d}{|d|}$.
  • rbhgaston
    rbhgaston
    Oui j'ai déjà fait ça mais je n'ai pas pu beaucoup avancer. Je ne sais pas où je dois arriver même là.
  • P.
    P.
    $a,b,c,d=\frac{1}{2}(\pm 1\pm i\sqrt{3}).$ Trouve nous un enonce correct.
  • rbhgaston
    rbhgaston
    Desole voici lenonce correct:
    Montrer que ABCD est rectangle si et seulement si a+b+c+d=0 avec A(a), B(b), C(c) et D(d) et |a| = |b| = |c| = |d|
  • side
    side
    supp
  • P.
    P.
    Ah, c'est mieux. Puisque $a,b,c,d$ sont de module 1, sans perte de generalite tu supposes que $b=\overline {a}$ et tu en deduis, puisque $c+d$ est alors reel, que $c$ et $d$ sont aussi conjugues. Et ensuite tu resous l'equation $\cos \alpha+\cos \gamma=0.$
  • rbhgaston
    rbhgaston
    Je n'ai pas compris, si tu prends une valeur particulière, ça ne va pas résoudre le problème en général.
  • P.
    P.
    Alors commence par comprendre le cas particulier, et tu verras apres comment passer de la au cas general .
  • mathisse
    mathisse
    Je prends en route:vous parlez d'affixes de points dans C et de les moduler ?
  • mathisse
    mathisse
    Les quatre points sont cocycliques sur un cercle de centre O, J'ai le droit de supposer qu'ils sot dans l'ordre ADCB. Le fait qu'on a un carré se traduit pas d=ai, c=di,b=ci,a=bi soit (a+b+c+d)= i (a+...d) donc (a+. )=O.
    C'est sans doute trop simple puur être vrai ?
    Cordialement.
  • P.
    P.
    C'est tellement vrai qu'on s'est plutot interesse a la reciproque.
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Pour que les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se coupent en leur milieu, il faut $a-b+c-d=0$.
  • JLT
    JLT
    Voici une démonstration géométrique. Soit $H$ l'orthocentre de $ABC$. L'affixe de $H$ est $-d$ donc $H$ est sur le cercle circonscrit à $ABC$. D'après la droite de Simson, les projetés de $H$ sur les côtés de $ABC$ sont alignés, autrement dit les pieds des hauteurs sont alignés. Or, ils sont aussi cocycliques (sur le cercle d'Euler), donc deux d'entre eux sont égaux, ce qui montre que $ABC$ est un triangle rectangle. Sans perte de généralité, supposons par exemple qu'il soit rectangle en $B$, alors $a+c=0$ donc aussi $b+d=0$ et on en déduit que $ABCD$ est un rectangle.
  • mathisse
    mathisse
    Soit: I milieu de AB
    J de AC
    K de AD
    L de BC
    M de BD
    N de CD.
    La relation a+b...=o entraine que IN, KL et JM se croisent en O, centre du cercle ABCD.
    Deux segments IN,KL ou JM ne peuvent se réduire à O en même temps sinon nos quatre points ABCD ne sont pas distincts
    Prenons IN et supposons que I et N ne soient pas confondus en O: AB et CD sont parallèles entre elles et perpendiculaires à IN.
    PrenonsKL et supposons que K et L n soient pas confondus en O: AD et BC sont parallèles entre elles et perpendiculaires à KL.
    On a donc un parallélogramme convexe ABCD.
    Prenons JM: soit J et M sont confondus en O, soit AC est parallèle à BD et ABCD n'est plus un parallélogramme convexe. Jet M son donc confondus en O
    On a donc bien un parallélogramme convexe inscrit dans un cercle, donc un rectangle.
  • mathisse
    mathisse
    Et ce n'est un carré que si a=ib ou a=ic ou ... etc...
  • Zig
    Zig
    Pas sûr de saisir l'objectif...

    Mais bon, si ABCD est convexe avec les points dans cet ordre sens trigo, ABCD est un carré ssi :

    $a+c=b+d\:$ et $\:\left(d-a\right)=i\left(b-a\right)$

    .
  • mathisse
    mathisse
    L'objectif est de prouver que si a+...=0, alors on a un rectangle. Je crois que je l'ai démontré correctement dans l'avant-denier post, et j'ajoute que si en plus a=ib, ou a=ic... etc. le rectangle est un carré.
  • Zig
    Zig
    On peut rester purement en complexes :

    On suppose donc que $a+b+c+d=0$ et $|a|=|b|=|c|=|d|$

    En utilisant à outrance la relation générique : $|z+z'|^{2}+|z-z'|^{2}=2\left(|z|^{2}+|z'|^{2}\right)$, on a tout ce qu'on souhaite...

    Dans notre cas, l'égalité des modules implique par exemple que $|a+b|^{2}+|a-b|^{2}=|c+d|^{2}+|c-d|^{2}$.

    Or de $a+b+c+d=0$ on tire que $|a+b|=|c+d|$, et donc il reste $|a-b|=|c-d|$.

    Par le même procédé, on a $|b-c|=|a-d|$ et $|a-c|=|b-d|$.

    Selon l'ordre des points, 2 de ces égalités prouvent que l'on a un parallélogramme (côtes opposés deux à deux de même longueur), et la troisième que ce parallélogramme est un rectangle (diagonales de même longueur).

    .
  • mathisse
    mathisse
    oK. Quelle est la plus belle solution?
    Cordialement.
  • Zig
    Zig
    Aïe un concours de beauté ... ;-)
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