ABCD est carré si et seulement si a+b+c+d=0
Réponses
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L'énoncé est faux : prend $a= 1 + 2i, b = \bar a, c = -a, d= - b$.
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Oui donc l'énoncé est faux mais j'ai trouvé sur internet le même problème avec une condition supplémentaire.
Je pense que le problème sera correct avec |a| = |b| = |c| = |d| = 1 -
C’est toujours faux.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Tu peux maintenant prendre $a' = \frac{a}{|a|}, b' = \frac{b}{|b|}, c' = \frac{c}{|c|}$ et $d' = \frac{d}{|d|}$.
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Oui j'ai déjà fait ça mais je n'ai pas pu beaucoup avancer. Je ne sais pas où je dois arriver même là.
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$a,b,c,d=\frac{1}{2}(\pm 1\pm i\sqrt{3}).$ Trouve nous un enonce correct.
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Desole voici lenonce correct:
Montrer que ABCD est rectangle si et seulement si a+b+c+d=0 avec A(a), B(b), C(c) et D(d) et |a| = |b| = |c| = |d| -
supp
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Ah, c'est mieux. Puisque $a,b,c,d$ sont de module 1, sans perte de generalite tu supposes que $b=\overline {a}$ et tu en deduis, puisque $c+d$ est alors reel, que $c$ et $d$ sont aussi conjugues. Et ensuite tu resous l'equation $\cos \alpha+\cos \gamma=0.$
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Je n'ai pas compris, si tu prends une valeur particulière, ça ne va pas résoudre le problème en général.
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Alors commence par comprendre le cas particulier, et tu verras apres comment passer de la au cas general .
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Je prends en route:vous parlez d'affixes de points dans C et de les moduler ?
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Les quatre points sont cocycliques sur un cercle de centre O, J'ai le droit de supposer qu'ils sot dans l'ordre ADCB. Le fait qu'on a un carré se traduit pas d=ai, c=di,b=ci,a=bi soit (a+b+c+d)= i (a+...d) donc (a+. )=O.
C'est sans doute trop simple puur être vrai ?
Cordialement. -
C'est tellement vrai qu'on s'est plutot interesse a la reciproque.
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Pour que les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se coupent en leur milieu, il faut $a-b+c-d=0$.
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Voici une démonstration géométrique. Soit $H$ l'orthocentre de $ABC$. L'affixe de $H$ est $-d$ donc $H$ est sur le cercle circonscrit à $ABC$. D'après la droite de Simson, les projetés de $H$ sur les côtés de $ABC$ sont alignés, autrement dit les pieds des hauteurs sont alignés. Or, ils sont aussi cocycliques (sur le cercle d'Euler), donc deux d'entre eux sont égaux, ce qui montre que $ABC$ est un triangle rectangle. Sans perte de généralité, supposons par exemple qu'il soit rectangle en $B$, alors $a+c=0$ donc aussi $b+d=0$ et on en déduit que $ABCD$ est un rectangle.
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Soit: I milieu de AB
J de AC
K de AD
L de BC
M de BD
N de CD.
La relation a+b...=o entraine que IN, KL et JM se croisent en O, centre du cercle ABCD.
Deux segments IN,KL ou JM ne peuvent se réduire à O en même temps sinon nos quatre points ABCD ne sont pas distincts
Prenons IN et supposons que I et N ne soient pas confondus en O: AB et CD sont parallèles entre elles et perpendiculaires à IN.
PrenonsKL et supposons que K et L n soient pas confondus en O: AD et BC sont parallèles entre elles et perpendiculaires à KL.
On a donc un parallélogramme convexe ABCD.
Prenons JM: soit J et M sont confondus en O, soit AC est parallèle à BD et ABCD n'est plus un parallélogramme convexe. Jet M son donc confondus en O
On a donc bien un parallélogramme convexe inscrit dans un cercle, donc un rectangle. -
Et ce n'est un carré que si a=ib ou a=ic ou ... etc...
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Pas sûr de saisir l'objectif...
Mais bon, si ABCD est convexe avec les points dans cet ordre sens trigo, ABCD est un carré ssi :
$a+c=b+d\:$ et $\:\left(d-a\right)=i\left(b-a\right)$
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L'objectif est de prouver que si a+...=0, alors on a un rectangle. Je crois que je l'ai démontré correctement dans l'avant-denier post, et j'ajoute que si en plus a=ib, ou a=ic... etc. le rectangle est un carré.
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On peut rester purement en complexes :
On suppose donc que $a+b+c+d=0$ et $|a|=|b|=|c|=|d|$
En utilisant à outrance la relation générique : $|z+z'|^{2}+|z-z'|^{2}=2\left(|z|^{2}+|z'|^{2}\right)$, on a tout ce qu'on souhaite...
Dans notre cas, l'égalité des modules implique par exemple que $|a+b|^{2}+|a-b|^{2}=|c+d|^{2}+|c-d|^{2}$.
Or de $a+b+c+d=0$ on tire que $|a+b|=|c+d|$, et donc il reste $|a-b|=|c-d|$.
Par le même procédé, on a $|b-c|=|a-d|$ et $|a-c|=|b-d|$.
Selon l'ordre des points, 2 de ces égalités prouvent que l'on a un parallélogramme (côtes opposés deux à deux de même longueur), et la troisième que ce parallélogramme est un rectangle (diagonales de même longueur).
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oK. Quelle est la plus belle solution?
Cordialement. -
Aïe un concours de beauté ... ;-)
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