Théorème de Pascal (coniques)
La démonstration suivante est-elle légitime ?
A,B,...,C' sont 6 points d'un conique, définie comme une courbe de second degré dans l'espace projectif réel.
Les droites AB' et A'B, AC' et A'C, BC' et B'C se coupent en I, J, K.
Le droite IJ coupe la conique en deux points, U et V, et AA' en a, BB' en b.
Les deux faisceaux A(A'B'C'U) et A'(ABCU) se coupent sur la droite IJ et les deux rayons homologues AA' et A'A ont confondus. Ils sont donc homographiques.
De même, par le théorème de Steiner, B'(ABCU) et B(A'B'C'U) se correspondent dans la même homographie et ayant le rayon BB' en commun, les points de encontre bIKU sont alignés. D'où l'alignement UIJK.
A,B,...,C' sont 6 points d'un conique, définie comme une courbe de second degré dans l'espace projectif réel.
Les droites AB' et A'B, AC' et A'C, BC' et B'C se coupent en I, J, K.
Le droite IJ coupe la conique en deux points, U et V, et AA' en a, BB' en b.
Les deux faisceaux A(A'B'C'U) et A'(ABCU) se coupent sur la droite IJ et les deux rayons homologues AA' et A'A ont confondus. Ils sont donc homographiques.
De même, par le théorème de Steiner, B'(ABCU) et B(A'B'C'U) se correspondent dans la même homographie et ayant le rayon BB' en commun, les points de encontre bIKU sont alignés. D'où l'alignement UIJK.
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Réponses
Tu dis toi même que tu travailles dans l'espace projectif réel.
Donc l'intersection d'une droite et d'une conique, cela se mérite.
Tu dois prouver d'une façon ou d'une autre que cette intersection non seulement est non vide mais en plus qu'elle est formée de deux points distincts.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Et m'étant mis moi-même dans le plan projectif réel, je me suis enfermé moi-même, car U et V n'ont pas le droit d'être imaginaires conjugués. Finalement, cette démonstration n'est PAS VALABLE DU TOUT ?
Pour te consoler, il nous reste toutes les preuves qu'on peut trouver dans la littérature sauf celle de Pascal évidemment.
Es-tu prêt à continuer ce fil en apportant toutes les preuves du théorème de Pascal, élémentaires ou non, inconnues ou non de notre monde sublunaire?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Comme bagage je n'ai que des ôtions sur l'homographie dans le plan et le th. de Steiner sur la conservation du birapport... Je crains que ce voyage ne sollicite trop mon guide....
Ceci dit: ai-je alors le droit de me placer dans le plan projectif complexe P(C3), en me restreignant aux coniques à coefficients réels et aux points ABCA'B'C' réels sur la conique ?
Cela conduit à une valeur complexe de birapport des quatre droites A'(UABC) et je sens le sable mouvant....
Je suis un peu déçu par ton manque de curiosité!
Cela aurait été vraiment un beau voyage au bout duquel tu aurais vu la géométrie d'une toute autre façon que l'indifférence actuelle!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Mais je ne veux pas abuser de votre patience.
Je suis prêt pour ce voyage !
Pouvez-vous néanmoins me dire déjà si je peux appliquer le th. de Steiner sur une conique à coefficients réels dans P(C3), donc birapport complexe, U et V imaginaires... etc..
Je veux bien critiquer ce que tu as rédigé, à condition que tu me dises ce que tu entends par théorème de Steiner.
Car ce dernier a été très prolifique et a pondu beaucoup de théorèmes.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Il en découle une condition pour que 6 points soit conconiques et l'application du birapport M(ABCDà aux quatre tangentes en ABCD.
Il y a un autre théorème, un peu voisin, dû à Steiner (et Chasles, je crois): l'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homographiques est une conique; et si il y a un rayon commun, ces intersections sont alignées (cas particulier).C'est une CNS aussi.
Peut-on les appliquer dans le plan projectif, peut-être pas le "vrai" plan projectif complexe complexe P(C3) (car c'est peut-être trop présomptueux de ma part, je ne sais pas où je mets les pieds), mais en tout cas dans le plan réel dont les axes réels sont complétés par les imaginaires purs (plus d'angles, plus de distances, mais je pense qu'il y a toujours des birapports ???)
Je viens de lire ta démonstration.
Elle est juste à condition évidemment de supposer que les intersections de la droite $IJ$ avec la conique $\Gamma$ existent.
Donc ta démonstration est incomplète comme je te l'ai dit.
Retiens déjà absolument la démonstration classique de l'existence de l'axe pour une homographie d'une conique puisque le théorème de Pascal n'en est qu'un corollaire immédiat.
Sur le corps des réels, une homographie d'une conique n'a pas nécessairement de points fixes.
Quand elle en a deux distincts, on dit qu'elle est hyperbolique.
Quand ils sont confondus, on dit qu'elle est parabolique.
Quand ils n'existent pas, on dit qu'elle est elliptique.
Quand il existent, les points fixes d'une homographie sont les intersections de son axe avec la conique.
Comme je vois que tu débutes en géométrie projective, laisse tomber ces histoires de complexification dans lesquelles il est très facile de patauger.
Procure toi le Sidler et essaye de faire les exercices qu'il propose!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Merci de votre aide et de me dire si ma "démonstration " est valable dans un espace ad hoc...
Cordialement.
Tu peux toujours utiliser les points d'intersections imaginaires conjugués d'une droite et d'une conique si cela te fait plaisir mais comme je viens de te le dire, essaye au maximum d'éviter ce genre d'arguments avec lesquels tu peux te planter très facilement.
Reste naturel et tu ne t'en porteras que mieux!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Il est difficile de se passer de i et de sa famille pour faire des démonstrations très synthétiques dans un espace projectif
Bonne soirée et merci.
Amclemet
Mathisse