Inégalité dans un quadrilatère convexe

En posant $\alpha_1=2A, \alpha_2=2B, \alpha_3=2C$ alors
$$0< A,B,C, \pi-(A+B+C)<\pi/2.\ \ (*)$$ Donc en identifiant aux complexes $u_1=e^{i\theta},\ u_2=e^{i(\theta+2A)},\ u_3=e^{i(\theta+2A+2B)},\ u_4=e^{i(\theta+2A+2B+2C)}$ on a $$\langle u_1+u_3,u_2+u_4\rangle=\Re (u_1+u_3)(\overline {u_2+u_4})=4\cos(A+B)\cos(B+C)\cos(C+A). $$ Il faut montrer que la valeur absolue de cette derniere expression est $<1/2$ sous la contrainte (*). J'ai deja vu ca, mais ou?


Si on veut plus symetrique, on pose aussi $\alpha_4=2D$ avec $D=\pi-A-B-C.$ L'inegalite a montrer peut alors aussi s'ecrire, apres elevation au carre :
$$\frac{1}{4}>16 \cos^2(A+B)\cos^2(B+C)\cos^2(C+A)=-16\cos(A+B)\cos(B+C)\cos(A+C)\cos (A+D)\cos(B+D)\cos(C+D) . $$

comme est suggéré dans les quadrilatères inscriptibles (pappus) ne simplifie pas les conditions, par exemple l'inégalité de P. doit être contrôlé vu pour $A=B=C=\pi/8$ pour cela j'ai dit il y a des cas à distinguer.
(à mon avis)


C'est une jolie inégalité si du jamais vue.

Cordialement.
Edit

Mon cher zephyr
Sur l'intervalle $]0,\pi[$, la relation $\sin(x)=\sin(y)$ entraîne:
$x=y\quad$ ou $x=\pi-y$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir, la question est que initialement les $\alpha_i$ sont les coins du quadrilatère. Bon la formulation pour les quadrilatères inscriptibles met les angles au centre, bien sûr pour les angles supplémentaires la somme est nulle pour les quadrilatères inscriptibles et le problème initial en est différent.

J'ai bricolé en fait je voulais (sans succès) en donner une preuve élémentaire sans quitter la dimension 1, ça m'a pris du temps il reste un cas (j'estime).

Comme quoi l'inégalité est 'facile' pour les triangles c'est-à-dire quadrilatère avec un angle aplati et est-ce qu'elle est vraie pour tout polygone (convexe) etc. en une certaine forme.

Bonjour à tous
Tonm a corrigé une de ses fautes d'orthographe, il en reste beaucoup d'autres dans un texte le plus souvent incohérent sinon incompréhensible.
Je pense qu'il n'a pas tout à fait compris la figure où j'ai mis les angles $\alpha$ au centre du cercle trigonométrique, le seul cercle qui nous reste encore très provisoirement.
Je ne lui jette pas la pierre car beaucoup d'autres participants, plus aguerris que lui en géométrie, font des fautes de français absolument incroyables.
L'enseignement du français et des mathématiques vont de pair!
Et quand on a du mal à s'exprimer en français, on a forcément des difficultés en mathématiques!
Amicalement
[small]p[/small]appus

[Tonm n'est peut-être pas de langue maternelle française ? :-) AD]

Bon (oui je ne suis pas Français)
Meme j'ai des pdf attaché dans ce phorum avec mon vrai nom:-)

Voilà ne me dit pas pappus que ton problème est lié au problème initiale

@Tonm : on ne contredit pas le maître Pappus.
àapus : j'ai précisé $[0,\pi]^4$. J'accepte les angles $\pi$ et $0$ dans un premier temps.
Si on ouvre l'intervalle, la borne supérieur n'est pas atteinte. Mais, la continuité étant ce qu'elle est, je m'en sers.

Les vecteurs $\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3,\vec u_4$ sont des vecteurs unitaires portés par $\vec {AB},\vec {BC},\vec {CD},\vec {DA}$, ce qui explique le dessin de Papus.

Mon cher zephyr
Bien sûr qu'on peut me contredire!
Je suis loin d'être infaillible. Je l'ai souvent montré dans le passé et encore plus aujourd'hui où je suis devenu bien vieux!
Tonm a certainement des choses intéressantes à nous dire mais pour le moment je ne suis pas arrivé à le déchiffrer!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Est-ce qu'il y a un quadrilatère inscriptible tel que les angles aux coins sont un réarrangement de ses angles au centre ?

Autre que le carré.

Bonjour, oui (sûr) l'arc et l'angle au centre qui l'intersecte.

Oui oui, j'ai saisi, ce que je pose est un autre truc si vous voulez. (Je ne sais si c'est vrai mais je doute que c'est simplement le théorème des angles aux centres qui répond à la dernière question)
Cordialement