Longueurs des côtés d'un triangle
Réponses
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La formule de Héron se traduit par : $S^{2}=\frac{1}{16}(-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2})$.
L'équation proposée $a^{4}+b^{4}+c^{4}=24S^{2}$ devient : $5(a^{4}+b^{4}+c^{4})=6(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$.
En posant : $x=a^{2},y=b^{2},z=c^{2}$, cette équation se met sous la forme : $q(x,y,z)=0$, avec : $q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\frac{6}{5}(xy+yz+zx)$.
Cette forme quadratique a pour matrice : $A=\left[
\begin{array}{ccc}
1 & -\frac{3}{5} & -\frac{3}{5} \\
-\frac{3}{5} & 1 & -\frac{3}{5} \\
-\frac{3}{5} & -\frac{3}{5} & 1%
\end{array}%
\right] $, semblable à : $D=\left[
\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{5} & 0 & 0 \\
0 & \frac{8}{5} & 0 \\
0 & 0 & \frac{8}{5}%
\end{array}%
\right] $.
Matrice de passage : $P=\left[
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & -2 \\
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right] $, dont on peut normer les colonnes si l'on veut
Merci Wolfram Alpha, mais il me donne une matrice de passage erronée. À qui se fier, mon Dieu ?
Ce n'est pas concluant mais c'est tout pour l'instant.
Veut-on les triangles à côtés entiers qui vérifient l’équation proposée ?
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Correction : Wolfram Alpha ne me donne pas une matrice de passage erronée. Comme il y a un plan propre, il choisit dans ce plan deux vecteurs propres linéairement indépendants, mais qui ne sont pas orthogonaux. C'est quand même moins joli.
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Bonjour, ce sont des réels mais les côtés d'un triangle donc il y a des contraintes.
Le problème peut ne pas être simple parce que je l'ai déduit d'un autre. Si vous essayer des triangles (à priori) vous apercevez le truc à chercher. Cordialement -
Les triangles seront seulement les triangles rectangles isocèles. À verifier.
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C'est faux.
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Bonjour, un contre exemple sera bon là si vous voulez pour être sûr.
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Cherche-le toi-même en résolvant l'équation de Chaurien avec $a=1$ et $b=2$. Edit : je voulais dire $b=\sqrt{2}$.
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A JlT j ai vérifié elle ne s'annulle pas :-S
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Les triangles rectangles isocèles font partie des solutions mais ce ne sont pas les seuls.
Par exemple, $(a,b,c)=(5,5,\sqrt{10})$ est solution, isocèle, mais pas rectangle.
Parmi les triangles rectangles, seuls les isocèles sont solution. -
Merci bisam d'accord. Ça semble difficile à caractériser (disons non isocèle).
En fait la condition à ajouter est que $2S\ge (\min(a,b,c))^2$, je vais éditer.
Comme ça c'est casse-tête mais vous pouvez y deviner le résultat pour moi c'était indirect. -
Il y a aussi des solutions qui ne sont pas isocèles... et je ne vois pas de caractérisation.
Lorsque deux côtés $a,b$ sont donnés et sont tels que $\frac{3-\sqrt{5}}{2}\leq\frac{b^2}{a^2}\leq\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ on trouve 2 solutions pour le 3ème côté $c$.
Une simple résolution d'équations du second degré fait l'affaire... -
Pour simplifier il fallait voir l'inégalité jointe et le cas d'égalité est pour le triangle rectangle isocèle.
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En remplaçant $a=v+w$, $b=w+u$, $c=u+v$
les contraintes provenant des inégalités triangulaires
sont simplement $u, v, w$ positifs. -
Essaye $a=1$, $b=\sqrt{2}$, $c=\sqrt{13/5}$, $S=0,\!7$.
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MERCI désolé (fautes à éditer)
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Bonjour,
On peut bouger $A$ ou/et faire $b=B_2$ au lieu de $B_1$.
Cordialement,
Rescassol
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Bonjour!
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