Déterminer tous les triangles de cotés $a,b,c$ tels que $$a^4+b^4+c^4=24S^2$$ où $S$ désigne l'aire.
Sous la condition que $$2S\ge (min(a,b,c))^2$$
Comme j'ai dit c'est un résultat d'un autre (une inégalité)
La formule de Héron se traduit par : $S^{2}=\frac{1}{16}(-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2})$.
L'équation proposée $a^{4}+b^{4}+c^{4}=24S^{2}$ devient : $5(a^{4}+b^{4}+c^{4})=6(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$.
En posant : $x=a^{2},y=b^{2},z=c^{2}$, cette équation se met sous la forme : $q(x,y,z)=0$, avec : $q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\frac{6}{5}(xy+yz+zx)$.
Cette forme quadratique a pour matrice : $A=\left[
\begin{array}{ccc}
1 & -\frac{3}{5} & -\frac{3}{5} \\
-\frac{3}{5} & 1 & -\frac{3}{5} \\
-\frac{3}{5} & -\frac{3}{5} & 1%
\end{array}%
\right] $, semblable à : $D=\left[
\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{5} & 0 & 0 \\
0 & \frac{8}{5} & 0 \\
0 & 0 & \frac{8}{5}%
\end{array}%
\right] $.
Matrice de passage : $P=\left[
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & -2 \\
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right] $, dont on peut normer les colonnes si l'on veut
Merci Wolfram Alpha, mais il me donne une matrice de passage erronée. À qui se fier, mon Dieu ?
Ce n'est pas concluant mais c'est tout pour l'instant.
Veut-on les triangles à côtés entiers qui vérifient l’équation proposée ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
Correction : Wolfram Alpha ne me donne pas une matrice de passage erronée. Comme il y a un plan propre, il choisit dans ce plan deux vecteurs propres linéairement indépendants, mais qui ne sont pas orthogonaux. C'est quand même moins joli.
Bonjour, ce sont des réels mais les côtés d'un triangle donc il y a des contraintes.
Le problème peut ne pas être simple parce que je l'ai déduit d'un autre. Si vous essayer des triangles (à priori) vous apercevez le truc à chercher. Cordialement
Les triangles rectangles isocèles font partie des solutions mais ce ne sont pas les seuls.
Par exemple, $(a,b,c)=(5,5,\sqrt{10})$ est solution, isocèle, mais pas rectangle.
Parmi les triangles rectangles, seuls les isocèles sont solution.
Merci bisam d'accord. Ça semble difficile à caractériser (disons non isocèle).
En fait la condition à ajouter est que $2S\ge (\min(a,b,c))^2$, je vais éditer.
Comme ça c'est casse-tête mais vous pouvez y deviner le résultat pour moi c'était indirect.
Il y a aussi des solutions qui ne sont pas isocèles... et je ne vois pas de caractérisation.
Lorsque deux côtés $a,b$ sont donnés et sont tels que $\frac{3-\sqrt{5}}{2}\leq\frac{b^2}{a^2}\leq\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ on trouve 2 solutions pour le 3ème côté $c$.
Une simple résolution d'équations du second degré fait l'affaire...
Réponses
L'équation proposée $a^{4}+b^{4}+c^{4}=24S^{2}$ devient : $5(a^{4}+b^{4}+c^{4})=6(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$.
En posant : $x=a^{2},y=b^{2},z=c^{2}$, cette équation se met sous la forme : $q(x,y,z)=0$, avec : $q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\frac{6}{5}(xy+yz+zx)$.
Cette forme quadratique a pour matrice : $A=\left[
\begin{array}{ccc}
1 & -\frac{3}{5} & -\frac{3}{5} \\
-\frac{3}{5} & 1 & -\frac{3}{5} \\
-\frac{3}{5} & -\frac{3}{5} & 1%
\end{array}%
\right] $, semblable à : $D=\left[
\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{5} & 0 & 0 \\
0 & \frac{8}{5} & 0 \\
0 & 0 & \frac{8}{5}%
\end{array}%
\right] $.
Matrice de passage : $P=\left[
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & -2 \\
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right] $, dont on peut normer les colonnes si l'on veut
Merci Wolfram Alpha, mais il me donne une matrice de passage erronée. À qui se fier, mon Dieu ?
Ce n'est pas concluant mais c'est tout pour l'instant.
Veut-on les triangles à côtés entiers qui vérifient l’équation proposée ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
Le problème peut ne pas être simple parce que je l'ai déduit d'un autre. Si vous essayer des triangles (à priori) vous apercevez le truc à chercher. Cordialement
Par exemple, $(a,b,c)=(5,5,\sqrt{10})$ est solution, isocèle, mais pas rectangle.
Parmi les triangles rectangles, seuls les isocèles sont solution.
En fait la condition à ajouter est que $2S\ge (\min(a,b,c))^2$, je vais éditer.
Comme ça c'est casse-tête mais vous pouvez y deviner le résultat pour moi c'était indirect.
Lorsque deux côtés $a,b$ sont donnés et sont tels que $\frac{3-\sqrt{5}}{2}\leq\frac{b^2}{a^2}\leq\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ on trouve 2 solutions pour le 3ème côté $c$.
Une simple résolution d'équations du second degré fait l'affaire...
les contraintes provenant des inégalités triangulaires
sont simplement $u, v, w$ positifs.
On peut bouger $A$ ou/et faire $b=B_2$ au lieu de $B_1$.
Cordialement,
Rescassol