Droite affine
Réponses
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Bonjour,
Sur quel corps ?
Cordialement,
Rescassol -
sur $\mathbb{R}$
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Par définition de sous-espace affine, il existe un point $A$ de ta droite $D$ (et en fait tout point de $D$ conviendrait) tel que $V = \{\vec{AM} \mid M \in D\}$ est un sous-espace vectoriel de dimension $1$ de $E$.
Comme il existe un vecteur non nul $v \in V$ (puisque $V$ est de dimension $1$), il existe donc $M \in D$ tel que $\vec{AM} = v$. Mais alors $M \neq A$ car $\vec{AM} = 0 \iff M=A$. Donc on a bien deux points distincts dans $D$, $A$ et $M$.
Tout cela est beaucoup de verbiage pour quelque chose de complètement trivial à partir des définitions. -
Si les problèmes de géométrie contemporains consistent à étudier les droites affines d'un espace affine de dimension 1, pappus va encore râler...
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Si on maîtrise lit un tant soit peu la première page de son cours (et même plutôt la première demi-page), on sait que l'application qui à $M \in D$ associe $\vec{AM} \in V$ est une bijection ($\forall A \in D$, et un espace affine est non vide par définition). C'est par définition d'espace affine, et il serait fort qu'un sous-espace affine ne soit pas un espace affine ...
$V$ étant de cardinal infini, $D$ aussi.
Mais bon, on est loin de la géométrie bac+5, un espace affine ce n'est que le translaté d'un espace vectoriel, c'est juste le cadre idoine pour parler de cela. -
Ce que vous avez écrit est-il en relation avec la preuve du fait que par deux points distincts , on peut faire passer une ligne droite et une seule?
Merci -
Dans quel cadre, ce fait et cette preuve (le "fait" est un axiome pour Euclide et Hilbert) ?
Cordialement.
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Bonjour!
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