Droite affine

Bonjour,

Sur quel corps ?

Cordialement,

Rescassol

Par définition de sous-espace affine, il existe un point $A$ de ta droite $D$ (et en fait tout point de $D$ conviendrait) tel que $V = \{\vec{AM} \mid M \in D\}$ est un sous-espace vectoriel de dimension $1$ de $E$.

Comme il existe un vecteur non nul $v \in V$ (puisque $V$ est de dimension $1$), il existe donc $M \in D$ tel que $\vec{AM} = v$. Mais alors $M \neq A$ car $\vec{AM} = 0 \iff M=A$. Donc on a bien deux points distincts dans $D$, $A$ et $M$.

Tout cela est beaucoup de verbiage pour quelque chose de complètement trivial à partir des définitions.

Si on maîtrise lit un tant soit peu la première page de son cours (et même plutôt la première demi-page), on sait que l'application qui à $M \in D$ associe $\vec{AM} \in V$ est une bijection ($\forall A \in D$, et un espace affine est non vide par définition). C'est par définition d'espace affine, et il serait fort qu'un sous-espace affine ne soit pas un espace affine ...

$V$ étant de cardinal infini, $D$ aussi.

Mais bon, on est loin de la géométrie bac+5, un espace affine ce n'est que le translaté d'un espace vectoriel, c'est juste le cadre idoine pour parler de cela.

Dans quel cadre, ce fait et cette preuve (le "fait" est un axiome pour Euclide et Hilbert) ?

Cordialement.