Triangle équilatéral et hyperbole équilatère

Bonjour,

Quelle est ta définition d'une hyperbole équilatère ?

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

C'est bien ce qu'il me semblait, il y a une contradiction entre demander une solution sans calculs et prendre $y=\dfrac{1}{x}$ comme définition. Il faudrait une définition sans coordonnées.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

On peut dire ça autrement:
Soit un triangle équilatéral $BCD$ de centre $A$. On sait que toute conique circonscrite (c'est à dire passant par $B,C,D$) passant par son orthocentre (ici $A$) est une hyperbole équilatère dont le centre $O$ est sur son cercle d'Euler.
Bien sûr, il faudrait démontrer cet autre théorème.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

> le centre de HE est sur le cercle d'Euler, d'accord; mais qui dit que c'est le milieu de [AA'] ?

Parce que le rayon du cercle d'Euler est la moitié de celui du cercle circonscrit et que ces deux cercles ont même centre dans le cas d'un triangle équilatéral.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour à tous
Une solution?
Ben, La Divine Rescassolisation par exemple!!!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher zephyr
Le problème de l'intersection d'une droite et d'une conique est un sujet particulièrement galvaudé!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher zephyr
Quand je pensais Rescassolisation, j'imaginais plutôt des calculs menés en complexes!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
La somme des racines de l'équation de degré $3$ de zephyr, que je salue, est $3a$. $A$ est donc le centre de gravité du triangle de sommets les $3$ points communs autres que $A^{\prime }$ à l'hyperbole et au cercle de centre $A$ passant par $A^{\prime }$. Moralité : ce triangle est équilatéral.
Ainsi la méthode de zephyr donne immédiatement ce résultat avec des calculs pratiquement inexistants puisqu'il est inutile de factoriser et même d'expliciter complètement l'équation de degré $4$ pour trouver la somme de ses racines autres que $-a$; le coefficient de $x^{3}$ suffit.
Bien cordialement. Poulbot

Mon cher zephyr
Il y a quand même des polynômes du troisième degré plus lisibles sous leur écriture complexe que sous leur écriture réelle!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Comme je vois que zephyr et moi n'avons pas adopté les mêmes axes, je vais plutôt m'intéresser à la figure de zephyr.
Je choisis le cercle pour cercle-unité comme le ferait Rescassol et les axes parallèles aux asymptotes de l'hyperbole comme l'a fait zephyr.
L'équation de l'hyperbole est:
$$z^2-\overline z^2-a'z+\overline{a'}\overline z=0.\qquad$$
où $a'$ est l'affixe de module $1\ $ du point $A'.\ $
On doit chercher l'intersection de cette hyperbole avec le cercle-unité d'équation:
$$z\overline z=1.\qquad$$
On élimine donc $\overline z$ entre ces deux équations pour obtenir:
$$z^4-a'z^3+\overline{a'}z-1=(z-a')(z^3+\overline{a'})=0$$
D'où le phénomène de trisection suggéré dans ma figure où $A''\ $ est le point d'affixe $a''=-\overline{a'}.\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher zephyr
Encore une fois, ce n'est pas ce triangle équilatéral qui est important mais le phénomène de trisection qu'il implique.
En ne parlant que du triangle équilatéral, on passe à côté de quelque chose de crucial qui n'aurait pas échappé autrefois à nos trisecteurs patentés.
Mais il est clair que ceux-ci ont disparu avec la géométrie, faut-il les regretter?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Oui zephyr!
Mais la trisection est devenue aussi anecdotique que le nombre de sommets d'un triangle!
De la géométrie il ne reste plus que l'énumérative!
Amicalement
[small]p[/small]appus