La relation
dans Géométrie
Bonjour,
Voici un problème original :
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Réponses
Si cela peut aider, une petite mise en contexte ...
Bien cordialement
JLB
@jelobreuil : CQFD , $360/9=40, 40/2=20$
Bien cordialement
JLB
une piste...
évaluer cos<C et cos <B en fonction des côtés....
Sincèrement
Jean-Louis
Je préfère appeler $a,b,c$ les longueurs des côtés du triangle $ABC$.
La relation des sinus donne $\dfrac{a}{\sin(120)}=\dfrac{b}{\sin(20)}=\dfrac{c}{\sin(40)}$.
On pose $t=\sin(20)$, on a $\sin(120)=\dfrac{r}{2}$ avec $r=\sqrt{3}$ et je suppose que le coefficient de proportionnalité de la relation des sinus est égal à $1$ (c'est équivalent à un choix d'unité).
On a alors $a=\dfrac{r}{2}, b=t, c=\sin(2\times 20)=2\sin(20)\cos(20)=2t\sqrt{1-t^2}$.
La relation à démontrer $\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{b+c}$ est équivalente à $b^2+2bc=ac$,
donc à $t+4t^2\sqrt{1-t^2}=rt\sqrt{1-t^2}$.
On isole la racine et on élève au carré, ce qui donne:
$(1 - t^2)r^2 + 8t(t^2 - 1)r - t^2(16t^2 - 15)=0$
On remplace $r^2$ par $3$ et on factorise, on obtient:
$(r - 2t)(8t^3 - 6t + r)=0$
D'autre part, on a la formule bien connue $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha)$.
On applique à $\alpha=20, \sin(3\alpha)=\sin(60)=\dfrac{r}{2}$, ce qui donne:
$8t^3 - 6t + r=0$ et la boucle est bouclée.
Cordialement,
Rescassol
pour obtenir une vision géométrique du résultat proposé...
D'abord, rechercher l'équivalence entre les cos 20° et 40° en utilisant la loi des cosinus qui conduit à une relation métrique entre les côtés du triangle ABC...
Ensuite,
1. considérer le centre I du cercle incrit à ABC
2. le cercle passant par B, I et C
3. P, Q les seconds points d'intersection de ce cercle resp. avec AB, AC
Nous observons que la lignes brisées BPICQ est régulière dont les segments constituant ont pour longueur c-b.
que (CP) // (BQ), (PI) // (BC) et PQ = BC...
Enfin,
la loi des cosinus appliqué au triangle PAQ conduit au résultat en utilisant l'équivalence de départ...
ouf!
Il me faudrait rédiger tout cela...
Sincèrement
Jean-Louis