De nouvelles coordonnées

soland
soland
dans Géométrie
Soit $F := (f_1f_2f_3)$ trois points fixes du plan inversif $\mathbb{I}$ et $z$ le point courant.
On appellera coordonnées circulaires (en bref coordc.) de $z$ relativement au repère $F$ le triplet
$(|zf_1||f_2f_3| : |zf_2||f_3f_1| : |zf_3||f_1f_2|)$
défini à un facteur près. Si ce facteur est l'inverse de $|zf_3||f_1f_2|$ ce même triplet prend un aspect différent :
$$
\left(\frac{|zf_1||f_2f_3|}{|zf_3||f_1f_2|} : \frac{|zf_2||f_3f_1|}{|zf_3||f_1f_2|} : 1\right) = (|zf_2,f_1f_3| : |zf_1,f_2f_3| : 1)
$$
On aura reconnu deux cyrapports $|**,**|$ , égaux au module des birapports complexes correspondants.
Il y a bien sûr encore deux autres aspects.

L'intérêt des coordonnés circulaires est leur invariance sous l'action des cyclines (trsf. circulaires).
Si $Z : z \mapsto z'$ est une cycline les coordc. de $z'$ relativement au repère $F'$ sont les mêmes
que celles de $z$ relativement au repère $F$ . On a le même phénomène avec les coord. cartésiennes et le groupe affine.

L'équation $\alpha |zf_2,f_1\infty| + \beta |zf_1,f_2\infty| + \gamma =0 \;\equiv\; \alpha |zf_1| + \beta |zf_2| + \gamma |f_1f_2| =0$ est celle d'un ovale de Descartes.
Son image par $Z$ a pour équation $ \alpha |zf'_2,f'_1\infty'| + \beta |zf'_1,f'_2\infty'| + \gamma =0 $
Ce n'est un ovale de Descartes que si l'un des foyers' est $\infty$ .
Pour espérer une classification modulo le groupe des cyclines
il faut plonger l'ens. des ovales de Descartes dans celui des courbes définies par une équation du type
$$
O : \alpha |zf_2,f_1f_3| + \beta |zf_1,f_2f_3| + \gamma =0
$$
i.e. l'ensemble des courbes ovalines. L'orbite de $O$ modulo le groupe des cyclines est caractérisé par le triolet
$\{ |\alpha| : |\beta| : |\gamma| \}$ i.e. le triplet des coefficients de l'équation dont on a oublié l'ordre et le signe.

Mais ça, c'est une autre histoire.

Réponses

  • pappus
    pappus
    Merci Soland
    Ce qui m'intéresse c'est ta notion de cyrapport.
    Est-ce toi qui a inventé ce néologisme?
    Si je comprends bien ta définition du cyrapport, elle fonctionne tout aussi bien dans un espace euclidien de dimension quelconque.
    D'où ma question:
    Soit $E\ $ un espace euclidien (de dimension quelconque) et $\widehat E=E\cup \infty\ $ son prolongement conforme.
    Toute bijection de $\widehat E\ $ qui conserve le cyrapport appartient-elle à $GM(\widehat E)\ $, le groupe de Moëbius de $\widehat E?\qquad$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • soland
    soland
    Le néologisme est de moi. Le concept aussi.

    Pour essayer de te répondre :
    Je n'y ai pas réfléchi. J'ai cogité à l'époque sur l'enchaînement

    distance $-$ isométries
    proportion $-$ similitudes
    cyrapport $-$ cyclines

    J'ai l'impression qu'on ne peut pas prolonger.

    J'avais en tête des écritures comme
    $|za| = |pa| \Leftrightarrow |zp,a| = 1$ (1 ou $k$ , même combat)
    $|ab,z| = |ab,p|$ (cercle d'Apollonius) $ \Leftrightarrow |ab,zp| = 1$
    et c'est tout !
  • pappus
    pappus
    Mon cher Soland
    Si $d(\bullet,\bullet)\ $ désigne la distance euclidienne de $E\ $, la définition du cyrapport est:
    $$(x,y,u,v)=\dfrac{d(u,x)}{d(u,y)}:\dfrac{d(v,x)}{d(w,y)}\qquad$$
    avec les conventions habituelles si l'un des points est $\infty.\ $
    On suppose que la bijection $f:\widehat E\mapsto \widehat E$ conserve le cyrapport.
    On peut toujours se ramener au cas où $f(\infty)=\infty\ $.
    En effet si $f(\infty) =a\not =\infty\ $, en composant $f $ avec une inversion $i$ de pôle $a$, $g=i\circ f$ conserve le cyrapport et $g(\infty)=\infty.\qquad$
    Alors
    $$\dfrac{(\infty,v,u,y)}{(x,v,\infty,y)}=\dfrac{d(y,v)}{d(u,v)}:\dfrac{d(y,v)}{d(x,y)}=\dfrac{d(x,y)}{d(u,v)}\qquad$$
    Comme $f$ conserve le cyrapport et le point $\infty\ $:
    $$\dfrac{d(f(x),f(y))}{d(f(u),f(v))}=\dfrac{d(x,y)}{d(u,v)}\qquad$$
    Donc $$\dfrac{d(f(x),f(y))}{d(x,y)}=\dfrac{d(f(u),f(v))}{d(u,v)}\qquad$$
    Ce qui montre que $f$ est une similitude.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • soland
    soland
    Suite demain; bonne nuit.
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    Je précise l'idée de Soland
    On a un triplet de points $(A,B,C)$ du plan circulaire.
    Au point $M\ $, on a associe le triplet $\Big(\dfrac{AM}{BC}:\dfrac{BM}{CA}:\dfrac{CM}{AB}\Big)\qquad$
    Alors si $f$ est une transformation circulaire (directe ou indirecte) transformant le quadruplet $(A,B,C,M)\ $ en le quadruplet $(A',B',C',M')$, on a:
    $$\Big(\dfrac{AM}{BC}:\dfrac{BM}{CA}:\dfrac{CM}{AB}\Big)=\Big(\dfrac{A'M'}{B'C'}:\dfrac{B'M'}{C'A'}:\dfrac{C'M'}{A'B'}\Big)\qquad$$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • soland
    soland
    Je planche sur le calcul qui confirme ou infirme
    que les inversions sont des cyclines.

    Comme Zyc (le groupe des cyclines)
    est engendré par les inversions...
  • soland
    soland
    éloignement := distance$^2$
    zyrapport := cyrapport$^2$
    Pas de racines carrées.
    $$
    [ab,cd] = \frac{[ac][bd]}{[bc][ad]}
    $$
  • pappus
    pappus
    Mon cher Soland
    Que le groupe de Moëbius conserve le cyrapport est évident car il est trivial de vérifier que les inversions le conservent déjà comme tu l'as dit.
    Je me suis d'ailleurs servi de cela pour montrer que le groupe conservant le cyrapport n'était pas plus gros que le groupe de Moëbius.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    En parlant de coordonnées, Soland semble suggérer que l'application:
    $$M\mapsto \Big(\dfrac{AM}{BC}:\dfrac{BM}{CA}:\dfrac{CM}{AB}\Big)\qquad$$
    est bijective.
    Mais est-ce vraiment le cas?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • soland
    soland
    Non, il y a deux souces inverses relativement au cercle passant par A, B ef C
  • soland
    soland
    P.S.
    Je n'ai pas trouvé trivial que les inversions conservent le cyrapport.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Solanddfrac{
    En dimension 2, pas trop de problèmes, on Rescassolise et une inversion transforme un birapport en son conjugué et donc conserve son module qui est le cyrapport.
    Mais on peut faire un calcul direct valable en toute dimension
    Dans un espace euclidien de dimension quelconque, soit $f$ l'inversion de pôle $O\ $ et de puissance $k $ transformant $(A,B,C,D)\ $ en $(A',B',C',D')\ $
    On a :
    $$A'C'=\vert k\vert\dfrac{AC}{OA.OC}.\qquad
    $$ De même :
    $$B'C'=\vert k\vert\dfrac{BC}{OB.OC}.\qquad
    $$ Puis :
    $$\dfrac{A'C'}{B'C'}=\dfrac{AC}{BC}.\dfrac{OA}{OB}.\qquad
    $$ Et de même :
    $$\dfrac{A'D'}{B'D'}=\dfrac{AD}{BD}.\dfrac{OA}{OB}\qquad
    $$ Et finalement :
    $$\dfrac{A'C'}{B'C'}:\dfrac{A'D'}{B'D'}=\dfrac{AC}{BC}:\dfrac{AD}{BD}.\qquad
    $$ Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • soland
    soland
    Merci, pappus.
    On y va de proche en proche.
    Restent les cas où $D=O\;\text{ou}\;\infty$
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