Un cercle tangent à un côté du triangle
dans Géométrie
Bonjour,
1. ABC un triangle
2. (O) le cercle circonscrit
3. G le point médian
4. D le pie de la A-hauteur ABC
5. P le point d’intersection (DG) avec l’arc BC ne contenant pas A.
Question : le cercle passant par P, D et C est tangent à (AC) en C.
Sincerely
Jean-Louis
1. ABC un triangle
2. (O) le cercle circonscrit
3. G le point médian
4. D le pie de la A-hauteur ABC
5. P le point d’intersection (DG) avec l’arc BC ne contenant pas A.
Question : le cercle passant par P, D et C est tangent à (AC) en C.
Sincerely
Jean-Louis
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Réponses
Serait-ce le commencement de la fin?
Cela fait plusieurs fois que j'arrive à dire quelque chose de pas trop stupide sur tes énigmes!
Ici la droite $DG$ coupe le cercle circonscrit en deux points, l'un est ton point $P$ mais c'est l'autre $A'$ qui est le plus intéressant car c'est lui qui fait marcher la boutique.
En effet c'est le symétrique de $A$ par rapport à la médiatrice de $BC\ $.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Une fois le point $A'\ $identifié, la suite est triviale: une simple chasse aux angles orientés, (aïe, aïe!).
$$(PC,PD)=(PC,PA')=(AC,AA')=(CA,CD)\qquad$$
Et c'est fini, le cercle $(PCD)$ est tangent en $C\ $ à la droite $AC.\ $
Amicalement
[small]p[/small]appus
Mon cher Pappus, j'ai du mal à voir pourquoi $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à la médiatrice de $BC$.
Zéphyr, je me suis posé la même question que toi, et je viens de trouver pourquoi :
Je prends le problème réciproque : montrer que si A' est le symétrique de A par rapport à la médiatrice de BC, et D le pied de la hauteur issue de A sur BC, DA' passe par G.
Il faut considérer le point A" symétrique de A par rapport à D : alors, dans le triangle AA'A" qui est un demi-rectangle, les segments AM et A'D sont deux médianes, et G est le centre de gravité commun aux deux triangles ABC et AA'A".
Bien cordialement
JLB
Bonne Nuit et fais de beaux rêves
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je n'ai sous la main ni mon Lalesco, ni mon Sortais, mais il me semble bien avoir vu dans l'un ou l'autre quelque chose de ce genre ... Ce n'est peut-être qu'un souvenir subliminal, mais en tout cas ça me rassure : il y a quelques bribes de géométrie qui commencent à rentrer dans mon ciboulot ... et que je peux sortir de temps en temps !
Bonne nuit à toi aussi !
Bien amicalement
JLB
les idées présentées conduisent au résultat...
Une autre voie consiste à montrer que le cercle circonscrit au triangle BDP est tangent à (AB) en B...
Alors le théorème de Reim...
Je remercie A.D. pour son aide.
[À ton service. AD :-)]
Sincèrement
Jean-Louis