Quatre points cocycliques

Bonjour Jean-Louis
Voici ta figure ci-dessous où $I=AD\cap EF.\qquad$
Un lycéen de Seconde autrefois savait que la droite $AD$ était la polaire de $X$ par rapport aux droites $AB \ $ et $AC\ $.
On a donc une division harmonique: $(E,F,I,X)=-1.$
D'autre part le faisceau de cercles à points de base $A$ et $H$ induit une involution $\varphi\ $ de pôle $I$ sur la droite $EF$, i.e pour tout point $M\in EF\ $, les points $A\ $, $H\ $, $M\ $, $\varphi(M)\ $ sont cocycliques.
$N\ $ est le milieu de $EF$, on a donc une division harmonique $(E,F,N,\infty)=-1.$
L'involution $\varphi\ $ conserve le birapport.
Donc $\big(\varphi(E), \varphi(F),\varphi(N),\varphi(\infty)\big)=-1$.
Mais $\varphi(E)=F,\ \varphi(F)=E,\ \varphi(\infty)=I $.
Ainsi $(F,E,\varphi(N), I)=-1.$
Par comparaison avec $(E,F,I,X)=-1$, on en déduit :
$$\varphi(N)=X.\qquad
$$ CQFD
Amicalement.
[small][/small]pappus

Mon cher Jean-Louis
J'attends avec impatience ta démonstration par les angles.
Amicalement
[small]p[/small]appus