Cubes et cubillons

soland
soland
dans Géométrie
Un cube est subdivisé en $6^3$ cubillons.
Décrire un polygone à 216 côtés reliant les centres des cubillons et faisant un angle droit en chaque centre.

Ce faire se peut-ce ?114260

Réponses

  • Tonm
    Tonm
    Salut, j'ai eu une idée en relisant le sujet.

    En fait un tel polygone existe pour une subdivision $n^3$.

    L'idée (un peu début) est de commencer au premier étage le couvrir en une sorte d'escargot in out jusqu'au cubes extrémités en respectant les angles droits entre les centres, on descend au deuxième étage faisant la même chose out in en laissant le cube centrique si il en a non relié ainsi de suite à la fin on relie les cubes centrales par un côté de bas en haut.

    Le cube centrale devra être clair si $n$ est impaire pour $n$ pair choisir un dans le bloc central au même endroit à chaque étage qu'on relie à la fin.
    J'espère détailler en figures (peut être)
    Merci
  • soland
    soland
    Salut Tonm
    Des précisions pour mieux comprendre
    seront effectivement bienvenues.

    Bonne suite
  • Tonm
    Tonm
    Oui bonjour, l'idée est à priori generalisable.

    Dans le précédent message j'ai dit qu'il y a un bloc centrale quand $n$ est paire, c'est celui qui est opaque formé alors de 4 cubillons. Les points bleus à l'intérieur de l'étage sont les centres des cubillons.
    Ici seulement $n=4$
    La descente: en premier étage in out
    Deuxieme et troisième étage on fait le tour extérieur le $4^{eme}$ est comme le premier mais out in.

    On finit l' étage on descend au même endroit (voir figures)
    Je vais les poster en succession.


    (Le cas $n$ impaire il y a un cube centrale plutôt qu'un bloc, même idée on va monter et descendre en approchant du bloc centrale...)114462
    114474
    114478
    114480
  • Tonm
    Tonm
    La montée du 4 au troisième et deuxième114482
    114484
  • soland
    soland
    Je vois des ttas de sommets où l'angle est 180° !?
  • Tonm
    Tonm
    Oui évidemment...(bof) c'est différent.
  • Tonm
    Tonm
    Dejà le problème avec cette contrainte semble impossible en dimension $2$ sauf pour $n=2$ je pense la même chose en dimension 3?
  • soland
    soland
    Evidemment nous autres, les Helvètes,
    profitons d'un "home-bonus..."
    Pour réfuter ton affirmation :114488
  • Tonm
    Tonm
    Heu ou sont les centres c'est quoi la subdivision?
    En dimension 2 c'est très simple de montrer que c'est impossible d'avoir un lacet fermé à 1 segment reliant les centres et à chaque centre un angle droit (sauf $n=2$) il suffit de commencer le chemin des trois carrées d'un certain coin.


    CORDIALEMENT
  • Tonm
    Tonm
    Bonjour, cette simple question de Soland est à vrai compliqué. Une petite recherche c'est lié au chemin et cycle Hamiltonien pour les graphes grilles entières; en anglais c'est integer grid 2D ou 3D ou le graphe a les noeuds sur les points entiers et un côté entre les centres s'ils sont distants de 1.

    Maientenant les grilles ici à subdivision $n\ge3$ sont carrés (cubes) à même longueurs suivant une certaine division.

    Si on veut partir avec les contraintes sur le cycle (polygone passant par tous les centres) que à chaque centre on doit faire un angle 90 alors il est certain (si on veut) qu'un tel cycle est 'généralement' impossible.

    Pour la grille en 2D cette contrainte est impossible en tout cas (existence ou non du cycle) en commencent à un certain coin on devra écarter ça.

    En 3D c'est peu compliqué de dire que c'est impossible, par exemple pour $n=3$ en essayant de couvrir un étage
    par des chemins distincts [sous la contrainte que à chaque centre on tourne 90 degré et on passe d'un centre à un autre s'il est distant de 1] on voit aussi à partir d'un certain coin on doit avoir un 180 quelque part...


    Un petit problème dans le grand c'est de décrire un couvrement d'une grille 2D (qui est une étage dans ce post) par des chemins aussi sous la contrainte que à chaque centre on tourne 90 degré et on passe d'un centre à un autre s'il est distant de 1.
    Y en a-t-il une certaine borne ou autre sur ce nombre de morceaux?
  • Tonm
    Tonm
    Bonjour, après une recherche (pas beaucoup) mais il y a ça dans le fichier joint, il parait qu'un tour Hamiltonean avec des cubes impaires n'existent pas déjà avec cet algo ici on ne peut pas le faire ($n=3$ par exemples).

    Bonnes fêtes
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