Constructions géométriques du produit

Piteux_gore · December 2020

Bonjour,

Classiquement, on construit le produit de deux longueurs via une quatrième proportionnelle.

Une autre solution consiste à construire le produit comme carré de la moyenne géométrique.

Voici encore une autre construction (figure jointe) :
$M = (-m, 0)$ et $N = (n,0)$
$m = (-m,-1)$ et $n = (n,-1)$
$A = (-m, m^2)$ et $B = (n, n^2)$
$C = (0, mn)$.

A+ 114312

Dasson · December 2020

Dans les mêmes eaux

Piteux_gore · December 2020

RE

C'est l'abaque de Matiasevitch qui m'a inspiré la troisième construction ; encore que, en raisonnant directement sur le trapèze rectangle de côtés $m+n, m^2, n^2$ à grands coups de Thalès, on retrouve le résultat.

A+

Piteux_gore · December 2020

RE

En fait, on n'a pas besoin de Thalès : il suffit d'employer la formule donnant l'aire du trapèze pour prouver que $OC = mn$.

J'ai aussi constaté que, si l'on remplace le trapèze de côtés $m+n, m^2, n^2$ par le trapèze de côtés $m+n, m, n$ le segment $OC$ égale la moyenne harmonique de $m, n$.

A+

Piteux_gore · December 2020

RE

Plus généralement, un trapèze rectangle de bases $c, d$ et de hauteur $a + b$ permet de créer, via le segment parallèle aux bases mené par le point de séparation de la hauteur, toutes sortes de rapports de la forme $(ad+bc)/(a+b)$.
Par exemple, pour créer $(x^2+y^2)/(x+y)$, je prends $a = d = x, b = c = y$.

A+

Constructions géométriques du produit

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