Orthogonalité et équation d'un cercle

Bonjour Visual77
Il faut déterminer le centre.
Il se trouve sur la droite d'équation:
$$4x-5y-3=0\qquad$$
D'autre part il doit être équidistant des tangentes d'équations:
$$\begin{cases}
2x-3y-10&=&0\\
3x-2y+5&=&0
\end{cases}
\qquad
$$
Le lieu des points équidistants de deux droites est formé de deux droites, traditionnellement appelées autrefois bissectrices.
Ta mission, si tu l'acceptes, est d'écrire les équations de ces deux bissectrices.
Amicalement
[small]p[/small]appus

mieux, son carré.

Attention,

il n'est pas dit que tous les points de la droite d'équation 4x-5y=3 sont des centres de cercles tangents. D'ailleurs, tu peux représenter tes trois droites, tu verras bien si la première est une bissectrice des deux autres.

Cordialement.

NB : Comme très souvent en géométrie, faire une figure permet de bien comprendre l'énoncé.

Pour voir un schéma, ouvrir le fichier joint et pour la solution ouvrir la fenêtre "Graphique 2".

Par exemple ici

J'ai mangé ca va mieux.

La remontée en surface de ce sujet me donne l'occasion de frimer.

La forme matricielle de l'équation du cercle de centre $(a,b)$ et de rayon $R$ est
$$\begin{pmatrix} 1&0&-a\\0&1&-b\\ -a&-b&a^2+b^2-R^2\end{pmatrix}\;.$$
Son équation tangentielle, sous forme matricielle, est donnée par la comatrice
$$\begin{pmatrix} a^2-R^2&ab&a\\ ab&b^2-R^2&b\\a&b&1\end{pmatrix}\;.$$
La condition sur le centre donne l'équation
$$4a-5b-3=0\;. \qquad{(1)}$$
Les conditions tangentielles donnent les équations
$$\begin{aligned}
4(a^2-R^2)+9(b^2-R^2)+100-12ab-40a+60b&=0\;,\qquad(2)\\
9(a^2-R^2)+4(b^2-R^2)+25-12ab+30a-20b&=0\;.\qquad(3)
\end{aligned}$$
En soustrayant (2) de (3) et en divisant par 5, on obtient
$$a^2-b^2-15+14a-16b=0\;.\qquad(4)$$
On résout le système (1,4) en les deux inconnues $a,b$, et on reporte les solutions dans (2) pour avoir $R^2$.